初中数学-面积问题与面积方法.doc

《初中数学-面积问题与面积方法.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、面积问题与面积方法[赛点突破]1．利用面积关系解决几何问题，古已有之，最典型的例子就是勾股定理的许多采用面积割补的证明。在数学竞赛中，有些问题是要求出指定图形的面积，也有些问题从表面上看似乎不直接涉及到面积，但若用等积变换与面积法去解答，往往会收到事半功倍的效果。在运用等积变换与面积法时，常常用到以下的公式和定理。2．中，设为a边上的高，R、r分别为外接圆、内切圆的半径，，则三角形的面积公式形式多样，注意根据问题需要灵活选取。3．（1）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（2）等底（或等高）的三角形的面积比等于其所对应的高（或底）的比。4．共角定理若与相等或互补，则。5．共边定理如图，

2、若直线AB与PQ相交于M，则。图25—120[范例解密]例1已知：如图，P是△中平分线上的任一点，过C作CE∥PB交AB的延长线于E，过B作BF∥PC交AC的延长线于F。求证：。分析：利用角平分线性质得到距离相等，结合等底等高的两个三角形面积相等，将问题转化为等积问题。证明：连结PE、PF∵CE∥PB，BF∥PC∴∴图25—2又∵P是平分线上的点∴P到BE及CF的距离相等即的边BE上的高等于的边CF上的高∴评注：解决本题的关键是运用“平行得等积”。例2（2003年德国数学竞赛）在平行四边形ABCD中，M、N分别在AB、BC上，且M、N不与端点重合，。设AN与CM相交于点Q。求证：DQ平

3、分。证明：设点Q到AB、BC、CD、DA的距离分别为a、b、c、d∵∴图25—3∴又∵∴故DQ平分20例3已知：O是的外接圆圆心，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F。求证：。分析：运用共边定理将要证明的等式转化为面积恒等式。 证明：∵图25—4∴∴即评注：本题看似与面积无关，但运用面积法特别简单。例4（2002年澳大利亚数学奥林匹克）设四边形ABCD是矩形，E、F分别是边BC、CD上的点，且满足是正三角形。求证：。分析：引入角和线段长，将所证三角形的面积表示出来，利用三角法求证。证明：设，则，，。又设正边长为t，则20图25—5又因为所以，例5（2003年白俄罗斯数学奥林匹克）

4、已知圆内接四边形ABCD满足，，。求△ABC的面积。分析：参数法求解。解：延长AD至M，使，设，，。∵∴△DCM∽△BAC设，则图25—6又∴20又∵∴∴评注：本题涉及到圆内接四边形，其另一种解法是运用托勒密定理，请参考本章超级训练第3题。例6（2000年全国高中数学联赛）如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M、N为垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于D点。证明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相等。证明：连结MN、BD、CD，设MN交AD于O。∵FM⊥AB，FN⊥AC∴A、M、F、N四点共圆∴又∵∴△AOM∽△ANF

5、∴∴①又∵∴△ABD∽△AFC图25—7∴∴②由①、②得又∵，及∴∴20例7（2003年白俄罗斯数学奥林匹克）已知凸五边形ABCDE满足，，，，。求五边形ABCDE的面积。解：设K是点C关于直线BD的对称点，则作和的平分线，且交于点M。于是，BM是AK的中垂线，DM是EK的中垂线。特别地，有，即M是的外心。因为图25—8所以，所以，即又因为，所以故AE是的斜边，即M是AE的中点。因为，，所以评注：巧妙地构造K点，采用“割补法”求解。例8（2004年首届中国东南地区数学奥林匹克）设点D为等腰的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的圆在20内的弧上一点，过B、D、F三点的圆与边AB交于点E

6、。求证：。证明：设AF的延长线交⊙BDF于K，则∴∥AC∴∴又由正弦定理，得图25—9∴而∴又∵∴∽∴故。例9（2003年第2届中国女子数学奥林匹克）已知D是的边AB上的任意一点，E是边AC上的任意一点，连结DE，F是线段DE上的任意一点，设，，。求证：（1），；（2）。20证明：连结BE、CD。(1)图25—10（2）由（1）得。例10（第16届亚太地区数学奥林匹克）设O、H分别是锐角的外心和垂心。求证：、和中一个三角形的面积等于其余两个的和。证明：先证如下引理：设O、H是线段BC所在直线外两点，P是线段BC的中点，记、和的面积分别为、和，则。事实上，过点B、P、C分别作OH的垂线，

7、垂足分别分别为D、E、F。则PE是梯形BDFC的中位线，所以图25—11∴即得。故引理得证。下面证明原命题：20过点O作于P∵O是锐角的外心∴根据引理，得连AP交OH于G，则由欧拉定理，知点G为的重心∴图25—12∴∴这就证明了、和中一个三角形的面积等于其余两个的和。[超级训练]1．在锐角中，的平分线交BC于L点，交的外接圆于N点，交AB于K，交AC于M。证明：与四边形AKNM的面积相等。2．从内一点M向三角形的三条高作垂线。若在每一条高上所作