《机械优化设计》习题及答案.doc

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1、机械优化设计习题及参考答案1-1.简述优化设计问题数学模型的表达形式。答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。求设计变量向量使且满足约束条件2-1.何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？答：二元函数f(x1,x2)在x0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的形式：令，则称它为函数f（x1，x2）在x0点处的梯度。（1）梯度方向是函数值变化最快方向，梯度模是函数变化率的最大值。（2）梯度与切线方向d垂直，从而推得梯度方向为等值面的法线方向。梯度方向为函数变化率最大方向，也就是最速上升方向。负

2、梯度-方向为函数变化率最小方向，即最速下降方向。2-2.求二元函数f（x1，x2）=2x12+x22-2x1+x2在处函数变化率最大的方向和数值。解：由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向，这里用单位向量p表示，函数变化率最大和数值时梯度的模。求f（x1，x2）在x0点处的梯度方向和数值，计算如下：=2-3.试求目标函数在点X0=[1,0]T处的最速下降方向，并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。解：求目标函数的偏导数则函数在X0=[1,0]T处的最速下降方向是这个方向上的单位向量是：新点是新点的目标函数值2-4.何谓凸集、凸函数、凸规划？（要求配图）答：一个点集（或

3、区域），如果连接其中任意两点x1、x2的线段都全部包含在该集合内，就称该点集为凸集，否则为非凸集。函数f(x）为凸集定义域内的函数，若对任何的及凸集域内的任意两点x1、x2，存在如下不等式：称f（x）是定义在图集上的一个凸函数。对于约束优化问题若都是凸函数，则称此问题为凸规划。3-1.简述一维搜索区间消去法原理。（要配图）答：搜索区间（a，b）确定之后，采用区间逐步缩短搜索区间，从而找到极小点的数值近似解。假设搜索区间（a，b）内任取两点a1，b1，a1《b1，并计算函数值f（a1），f（b1）。将有下列三种可能情形；1）f（a1）《f（b1）由于函数为单谷，所以极小点必在区间（

4、a，b1）内2）f（a1）》f（b1），同理，极小点应在区间（a1，b）内3）f（a1）=f（b1），这是极小点应在（a1，b1）内3-2.简述黄金分割法搜索过程及程序框图。其中，为待定常数。3-3.对函数，当给定搜索区间时，写出用黄金分割法求极小点的前三次搜索过程。（要列表）黄金分割法的搜索过程序号aa1a2bY1比较Y20-5-1.181.185-0.9676<3.75241-5-2.639-1.181？1.686>-0.9672？-1.18-0.2791.18-0.9676<-0.483-2.639-1.737-1.181？-0.457>-0.4823-4.使用二次插值法求

5、f(x)=sin(x)在区间[2,6]的极小点，写出计算步骤和迭代公式，给定初始点x1=2，x2=4，x3=6，ε=10-4。解：1234x1244.554574.55457x244.554574.736564.72125x36664.73656y10.-0.-0.-0.y2-0.-0.-0.-0.y3-0.-0.-0.-0.xp4.554574.736564.721254.71236yp-0.-0.-0.-1迭代次数K=4，极小点为4.71236，最小值为-1，，收敛的条件：4-1.简述无约束优化方法中梯度法、共轭梯度法、鲍威尔法的主要区别。答：梯度法是以负梯度方向作为搜索方向

6、，使函数值下降最快，相邻两个迭代点上的函数相互垂直即是相邻两个搜索方向相互垂直。这就是说在梯度法中，迭代点向函数极小点靠近的过程，走的是曲折的路线。这一次的搜索方向与前一次的搜索过程互相垂直，形成“之”字形的锯齿现象。从直观上可以看到，在远离极小点的位置，每次迭代可使函数值有较多的下降。可是在接近极小点的位置，由于锯齿现象使每次迭代行进的距离缩短，因而收敛速度减慢。这种情况似乎与“最速下降”的名称矛盾，其实不然，这是因为梯度是函数的局部性质。从局部上看，在一点附近函数的下降是最快的，但从整体上看则走了许多弯路，因此函数的下降并不算快。共轭梯度法是共轭方向法中的一种，因为在该方法中

7、每一个共轭的量都是依赖于迭代点处的负梯度而构造出来的，所以称作共轭梯度法。该方法的第一个搜索方向取作负梯度方向，这就是最速下降法。其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个角度，也就是对负梯度进行修正。所以共轭梯度法实质上是对最速下降法进行的一种改进，故它又被称作旋转梯度法。鲍威尔法是直接利用函数值来构造共轭方向的一种共轭方向法，这种方法是在研究其有正定矩阵G的二次函数的极小化问题时形成的。其基本思想是在不用导数的前提下，在迭代中逐次构造G的共轭方向。在该算法中，每一轮迭代都用连结始点