2018年考研数学三试题及全面解析.doc

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1、超级狩猎者整理2018年全国硕士研究生入学统一考试数学三考研真题与全面解析（Word版）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.下列函数中在处不可导的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】()【解析】根据导数定义，A.，可导；B.,可导；C.，可导；D.，极限不存在。故选（）.2.设函数在上二阶可导。且，则（）（A）当时，（B）当时，（C）当时，（D）当时，【答案】（）【解析一】有高于一阶导数的信息时，优先考虑“泰勒展开

2、”。从选项中判断，展开点为。将函数在处展开，有第15页共15页超级狩猎者整理，其中。两边积分，得，由于，所以，应选（D）.【解析二】排除法。（A）错误。令，易知，，但是。（B）错误。令，易知，，但是。（C）错误。令，易知，，但是。故选（D）.3.设，，，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】（）【解析】积分区间是对称区间，先利用对称性化简，能求出积分最好，不能求出积分则最简化积分。，，令，则，当时，，第15页共15页超级狩猎者整理当时，，故对，有，因而，，故。应选（）.4.设某产品的成本函数可导，其中为产量。若产量为时平

3、均成本最小，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】（）【解析】平均成本，由于产量为时平均成本最小，因此，故选（）5.下列矩阵中阵，与矩阵相似的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】（）【解析】记矩阵，则秩，迹,特征值（三重）。观察四个选项，它们与矩阵的秩相等、迹相等、行列式相等，特征值也相等，进一步分析可得：,，,。如果矩阵与矩阵相似，则必有与相似（为任意常数），从而），故选（A）,6.设是阶矩阵，记为矩阵的秩，表示分块矩阵，则（）第15页共15页超级狩猎者整理（A）（B）（C）（D）【答案】（）【解析】把矩阵按列分块，

4、记，则向量组可以由向量组线性表出，从而与，，等价，于是，故选（）。7.设随机变量的概率密度满足，且则()（A）0.2（B）0.3（C）0.4（D）0.5【答案】（）【解析】由可知概率密度函数关于对称，结合概率密度函数的性质及已知条件，容易得出，故选（）。8.设是来自总体的简单随机样本。令，，，则（）（A）（B）第15页共15页超级狩猎者整理（C）（D）【答案】（）【解析】由，，且与相互独立，所以，故选（）。二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.9.曲线在其拐点处的切线方程为。【答案

5、】.【解析】函数的定义域为，，；。令，解得，而，故点是曲线唯一的拐点。曲线在该点处的斜率，所以切线方程为。10.。【答案】【解析】11、差分方程的通解是。第15页共15页超级狩猎者整理【答案】，其中为任意常数。【解析】由于，原方程化为，即。该一阶线性非齐次差分方程对应的齐次差分方程为，其通解为。设原方程的特解为,代入原方程得.故原方程的通解为。12.设函数满足，且，则。【答案】。【解析】由可得两边取极限得，即解一阶线性齐次微分方程，有，代入，故。由轮换对称性可得：。13.设为3阶矩阵，是线性无关的向量组,若，，则。【答案

6、】.第15页共15页超级狩猎者整理【解析】已知因为线性无关，所以矩阵可逆，,.，14.设随机事件,相互独立，,，则。【答案】.。【解析】,三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）已知实数满足.，求。【解析一】令，可得................................................................（1）于是对（1）式使用洛必达法则，有故。第15页共15页超级狩猎者整理【解析二】令，可得

7、，于是。16.（本题满分10分）设平面区域由曲线与直线及轴围成，计算二重积分。【解析】积分区域如图示，，其中，故。17.（本题满分10分）将长为的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。【答案】面积之和存在最小值，。【解析】设圆的半径为，正方形的边长为，三角形的边长为，则，三个图形的面积之和为，则问题转化为“在条件，下，求三元函数第15页共15页超级狩猎者整理的最小值”。令解方程组，得到唯一驻点由实际问题可知，最小值一定存在，且在该驻点处取得最小值。最小面积和为.

8、18.（本题满分10分）已知，求。【解析】将和展开成幂级数，，，于是，比较等式两边同次项系数，可得，第15页共15页超级狩猎者整理，综上，。19.（本题满分10分）设数列满足。证明收敛，并求。【证明一】因为，所以。根据拉格朗日中值定理，存在，使得，即，因此。完全类似，假设，则，即，故数列单调减少且有下界，从而数列收敛