高中信息技术 全国青少年奥林匹克联赛教案 递归与回溯法

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1、递归与回溯法课题：递归与回溯目标：知识目标：递归概念与利用递归进行回溯能力目标：回溯算法的应用重点：回溯算法难点：回溯算法的理解板书示意：1）递归的理解2）利用递归回溯解决实际问题（例14、例15、例16、例17、例18）3）利用回溯算法解决排列问题（例19）授课过程：什么是递归？先看大家都熟悉的一个民间故事：从前有座山，山上有座庙，庙里有一个老和尚在给小和尚讲故事，故事里说，从前有座山，山上有座庙，庙里有一个老和尚在给小和尚讲故事，故事里说……。象这样，一个对象部分地由它自己组成，或者是按它自己定义，我们称之是递

2、归。例如，我们可以这样定义N!，N!=N*(N-1)!，因此求N!转化为求(N-1)!。这就是一个递归的描述。因此，可以编写如下递归程序：programFactorial;varN:Integer;T:Longint;functionFac(N:Integer):Longint;beginifN=0thenFac:=1elseFac:=N*Fac(N-1)end;beginWrite('N=');Readln(N);T:=Fac(N);Writeln('N!=',T);end.16图13递归调用示例图图13展示了N

3、=3的执行过程。由上述程序可以看出，递归是一个反复执行直到递归终止的过程。设一个未知函数f，用其自身构成的已知函数g来定义：为了定义f(n)，必须先定义f(n-1)，为了定义f(n-1)，又必须先定义f(n-2)，…，上述这种用自身的简单情况来定义自己的方式称为递归定义。递归有如下特点：①它直接或间接的调用了自己。②一定要有递归终止的条件，这个条件通常称为边界条件。与递推一样，每一个递推都有其边界条件。但不同的是，递推是由边界条件出发，通过递推式求f(n)的值，从边界到求解的全过程十分清楚；而递归则是从函数自身出发

4、来达到边界条件，在通过边界条件的递归调用过程中，系统用堆栈把每次调用的中间结果（局部变量和返回地址）保存起来，直至求出递归边界值f(0)=a。然后返回调用函数。返回的过程中，中间结果相继出栈恢复，f(1)=g(1,a)àf(2)=g(2,f(1))à……à直至求出f(n)=g(n,f(n-1))。递归按其调用方式分直接递归——递归过程P直接自己调用自己；间接递归——即P包含另一过程D，而D又调用P；由此可见，递归算法的效率往往很低，费时和费内存空间。但是递归也有其长处，它能使一个蕴含递归关系且结构复杂的程序简洁精炼

5、，增加可读性。特别是在难于找到从边界到解的全过程的情况下，如果把问题进一步，其结果仍维持原问题的关系，则采用递归算法编程比较合适。递归算法适用的一般场合为：①数据的定义形式按递归定义。如裴波那契数列的定义：16对应的递归程序为functionfib(n:Integer):Integer;beginifn=0thenfib:=1{递归边界}elseifn=1thenfib:=2{递归边界}elsefib:=fib(n–2)+fib(n–1);{递归}end;这类递归问题可转化为递推算法，递归边界为递推的边界条件。例如

6、上例转化为递推算法即为functionfib(n:Integer):Integer;beginf[0]:=1;f[1]:=2;{递推边界}forI:=2tondof[I]:=f[I–1]+f[I–2];fib:=f(n);end;②数据之间的关系（即数据结构）按递归定义。如树的遍历，图的搜索等。③问题解法按递归算法实现。例如回溯法等。对于②和③，可以用堆栈结构将其转换为非递归算法，以提高算法的效率以及减少内存空间的浪费。下面以经典的N皇后问题为例，看看递归法是怎样实现的，以及比较递归算法和非递归算法效率上的差别。例

7、15：N皇后问题图14八皇后的两组解16在N*N的棋盘上放置N个皇后而彼此不受攻击（即在棋盘的任一行，任一列和任一对角线上不能放置2个皇后），编程求解所有的摆放方法。分析：由于皇后的摆放位置不能通过某种公式来确定，因此对于每个皇后的摆放位置都要进行试探和纠正，这就是“回溯”的思想。在N个皇后未放置完成前，摆放第I个皇后和第I+1个皇后的试探方法是相同的，因此完全可以采用递归的方法来处理。下面是放置第I个皇后的的递归算法：ProcedureTry(I:integer)；{搜索第I行皇后的位置}varj:integer

8、;beginifI=n+1then输出方案；forj:=1tondoif皇后能放在第I行第J列的位置thenbegin放置第I个皇后；对放置皇后的位置进行标记；Try（I+1）对放置皇后的位置释放标记；End;End;N皇后问题的递归算法的程序如下：programN_Queens;constMaxN=100;{最多皇后数}varA:array[1..MaxN