抽象函数几类问题的解题方法与技巧.doc

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1、一、求解析式的一般方法1、换元法例1：已知f(x+1)=x2-2x求f(x)解：令t=x+1则x=t-1f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t-3∴f(x)=x2-4x-3换元法是解决抽象函数问题的基本方法，换元法包括显性换元法和隐性换元法。2、方程组法例2：若函数f(x)满足f(x)+2f()=3x，求f(x)解：令x=则f()+2f(x)=f(x)+2f()=3x＝＞f(x)=-x2f(x)+f()=∴f(x)=-x例3.例43、待定系数法例5：如果f[f(x)]=2x-1则一次函数f(x)=______解：f(x)是一次函数∴不妨设f(x)=ax+b(a≠0)则f[f(x)]

2、=af(x)+b=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b又已知f[f(x)]=2x-19例6：已知f(x)是多项式函数，解:由已知得f(x)是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)代入比较系数得过且过:a=1,b=-2,c=-1,f(x)=x2-2x-1.如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。二、判断奇偶性的一般方法在奇偶性的求解中，常用方法是赋值法，赋值法中常见的赋值有-1、0、1。例7定义在（-1、1）上的函数f(x)满足。（1）对任意x、y∈(-1、1)都有f(x)+f(y)=f()（2）当x∈(-1、0)时,有f(x)＞0求证（I）f(x)

3、是奇函数,（II）f(证明：（1）令x=y=0，则2f(0)=f(0)∴f(0)=0令y=-x，则f(x)+f(y)=f(x)+f(-x)=f(=f(0)=0∴f(-x)=-f(x)∴f(x)是奇函数例8定义在R上的函数f(x)，对任意x,y属于R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0（1）求证f(0)=1（2）求证y=f(x)是偶函数证明：（1）令x=y=0∴f(0)+f(0)=2×f(0)2∵f(0)≠0∴f(0)=1(2)令x=0则f(0+y)+f(0-y)=2f(0)f(y)9f(y)+f(-y)=2f(y)＝＞f(-y)=f(y)＝＞y=f(x)是偶函数

4、例9.对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______.解:令x=y=0,得：f(0)=0,令x=0,y=1,得f(0+1)=f(0)+2f[(1)]2,三、单调性的求解方法例6：定义域为R的函数f(x)满足：对于任意的实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x＞0时，f(x)＜0恒成立。（1）判断函数f(x)的奇偶性。（2）证明：f(x)为减函数，若函数f(x)在[-3、3]上总有f(x)≤6成立，试确定f(x)应满足的条件。（3）解关于x的不等式f(ax2)-f(x)＞(a2x)-f(a)(n是一个给定的自

5、然数a＜0)解：（1）f(x)为奇函数证明如下令x=0、y=0则f(0+0)=f(0)+f(0)=>f(0)=0令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)=f(x)-f(x)=0=>f(-x)=-f(x)=>f(x)是奇函数（2）证明：任取x1x2∈R,且x1＜x2则x2-x1＞09由已知f(x2-x1)＜0∵f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)<0∴f(x2)

6、)≤6∴f(-1)≤2∴f(1)≥-2(3)f(ax2)-f(x)＞f(a2x)-f(a)f(ax2)-f(a2x)＞n[f(x)-f(a)]f(ax2-a2x)＞nf(x-a)由已知得f[n(x-a)]=nf(x-a)∴f(ax2-a2x)＞f[n(x-a)]∵f(x)在（-∞，+∞）上是减函数∴ax2-a2x＜n(x-a)即（x-a）(ax-n)＜0∵a＜0∴(x-a)(x-)＞0(1)当a＜＜0,即a＜-时原不等式解集为{x

7、x＞或x＜a}(2)当a=＜0,即a=-时原不等式的解集为空集(3)当＜a＜0时即-＜a＜0时原不等式的解集为{x

8、x>a或x＜}例7，设函数y=f(x)是定义在

9、R上，对任意m,n函数f(x)恒有f(m+n)=f(m)f(n),且x＞0时，0＜f(x)＜19(1)求证：f(0)=1且当x＜0时，f(x)＞1(2)求证：f(x)在R上单减证明：（1）①令m=0,n=1则f(m+n)=f(1)=f(0)×f(1)∵1＞0∴0＜f(1)＜1∴f(0)=1②令m=xn=-x，且x＜0f(m+n)=f(x+(-x))=f(0)=f(x)×f(-x)则f(x)f(-x)=1∴f(