《复变函数》作业集答案

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1、第一章练习题参考答案一、1．；2．，；3．；4．；5．；6．；7.；二、1．；2．；3．；4．．5．　　6．三、1．；2．；3．；4．．四、1．；2．(为实数)；3．(为任意实数)；4．；五、1．直线；2．以(-3,0),(-1,0)为焦点,长半轴为2，短半轴为的椭圆：；3．直线；4．以为起点的射线；六、1．上半平面,无界单通区域；2．由直线及所构成的带形区域(不含两直线)，无界单连通区域；3．以为圆心,以4为半径的圆的内部(不含圆心)，有界多连通区域；4．由射线逆时针旋转到射线构成的半平面，无界单连通区

2、域．七、证明:八、由即可证明。几何意义：平行四边形两对角线的平方和等于两邻边平方和的两倍。（33）九、多项式的系数是实数，故十、当沿实轴趋于0时，，极限值为1；当沿虚轴趋于0时，，极限值为-1故当时，的极限不存在．十一、证明：令则　　　　又因是实系数方程的根，那么于是所以于是方程的根．十二、.第二章练习题参考答案一、1．充分条件2．充分必要条件3．ⅰ)在处可微；ⅱ)在处成立4．　5．（2，-3，2）二、1．C2．C3．D4.D5.A6.D7.D8.A（34）三、1．解：故在上可导,没有解析点．2．解：故在

3、全平面内可导,在全平面内解析．3．解：仅当时，C-R条件成立，故此函数在直线上处处可导，而在复平面上处处不解析.4．解：因此仅在两相交直线上处处可导，在平面处处不解析．5．解：C-R条件处处成立，且偏导数处处连续，因而处处可微，即处处解析．6．解：令，则在z平面上处处可微且从而要使，只需：，从而在直线上，可导，在z平面上处处不解析7．解：设，则（35）=，由于在z平面上处处可微，且若，，则必须要，解得，函数在z=0点可导，平面上处处不可微．四、证明:（1）．又得常数同理可得常数常数（2）在区域内解析（36

4、）又时得即结论成立当时得即常数同理可得常数常数（3）在区域内解析`得得常数同理可得常数常数五、解：1．2．3．（37）六、解：主值主值七、解：(1)(2)(3)(4)八、解：,由C-R条件我们可以得到：九、解：因为且在平面上处处连续，所以在平面上处处可微；又因为处处成立，从而在平面上处处解析，且=(38)第三章练习题参考答案一、1．；2．0；3．；4．-1；5．；6．0；7．；8．；9．；10．.二、单项选择题1．D2．B3.B4.B5.A6.C7.B8.A9.B10.C三、1．证明：2．解：原式=-+3

5、．解：显然被积函数的奇点为0和1（1）在内，被积函数有唯一奇点0，故（2）在内，被积函数有唯一奇点1，故（3）对，由复合闭路定理其中4．解：当在的内部时，(39)当在的内部时，原式=当不在的内部时，原式=5．解：当0，1均不在C的内部时，被积函数在C上及其内部解析，由Cauchy-Gourssat定理，当点0在C的内部而点1在C的外部时，由柯西积分公式得：当1在C的内部，而点0在C的外部时,由高阶导数公式得：当0，1均在C的内部时，在C的内部作分别以0，1为圆心半径充分小的圆周，使得他们互不包含也互不相交

6、，由复合闭路定理，有3．证明：当则，是解析函数．且当，则也是解析函数．且6．证明：令，则(40)，==故7．解：因为，由C-R方程可得用偏积分法．因此由所以8．解：用偏积分法(41)故(C为实常数)或其中(C为实常数)9．解：①②由①+②得①-②得从而C为复常数10．解：，,一般情况下不相等　，可能相等的情况：Ｃ是简单闭曲线，是的连续函数，且与无关；Ｃ是平行于实轴的线段；第四章练习题参考答案一、1．复数列收敛的充分必要条件是实数列与均收敛。2．复数项级数收敛的充分必要条件是实级数与均收敛。3．复数项级数绝

7、对收敛的充分必要条件是实级数与均绝对收敛。4．幂级数收敛域为圆域：，而洛朗级数的(42)收敛域为圆环域。二、填空题1．②，①，0；2．③3．，+，0；4．7．i8．三、判断题1．√；2.√；3.√；4.√；5.√四、证明：级数收敛，相当于幂级数在处收敛。因此该幂级数的收敛半径。但若，则幂级数在收敛圆内绝对收敛，特别在处绝对收敛，即级数收敛。这与题设矛盾。从而幂级数的收敛半径。五、1．=2．因为，故3．(43)4．因为，而所以5．因为而故6．因为且，从而可得：=六、（1）（2）因为，而所以（3）因为，而(4

8、4)所以（4）用公式求展开式的系数；；；故函数距最近的奇点为，所以级数的收敛半径（5）因为，而所以七、（1）在内，故(45)（2）在内，，从而有（3）（4）因为所以（5）(6)(46)第五章参考答案一、1是一级极点，是二级极点；2是二级极点；3是本性奇点；4是三级极点，是一级极点；5是一级极点；6一级极点．二、1解，可去奇点，是一级极点．2解因为所以3解是二级极点，是一级极点4解（47）5解6解为二级极点，为的一级极点，7解是