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1、新课标高中一轮总复习第十一单元直线与圆、圆锥曲线与方程第79讲圆锥曲线的综合应用掌握探究与圆锥曲线相关的最值问题、定点与定值问题、参变数取值范围问题的基本思想与方法，培养并提升运算能力和思维能力.1.已知λ∈R,则不论λ取何值，曲线C：λx2-x-λy+1=0恒过定点()DA.(0,1)B.(-1,1)C.(1,0)D.(1,1)由λx2-x-λy+1=0,得λ(x2-y)-(x-1)=0.x2-y=0x=1x-1=0y=1,可知不论λ取何值,曲线C过定点(1,1).依题设,即2.已知k∈R,直线y=kx+1与椭圆=1恒有公共点,则实数m的取值范围是.［1,5)∪(5,+∞)
2、由于直线y=kx+1过定点P(0,1)，则当P(0,1)在椭圆上或椭圆内时，直线与椭圆恒有公共点，因此m≥１且m≠5,求得m∈［1,5)∪(5,+∞).3.双曲线x2-y2=4上一点P(x0,y0)在双曲线的一条渐近线上的射影为Q，已知O为坐标原点，则△POQ的面积为定值.1如图,双曲线x2-y2=4的两条渐近线为y=±x,即x±y=0.又
3、PQ
4、=,
5、PR
6、=，所以S△POQ=
7、PQ
8、
9、PR
10、==1.4.已知定点A(2,3),F是椭圆=1的右焦点,M为椭圆上任意一点,则
11、AM
12、+2
13、MF
14、的最小值为.6由于点A在椭圆内，过M点作椭圆右准线x=8的垂线，垂足为B.由椭圆第二定
15、义，得2
16、MF
17、=
18、MB
19、，则
20、AM
21、+2
22、MF
23、＝｜AM｜+
24、BM
25、，当A、B、M三点共线且垂直于准线时，
26、AM
27、+2
28、MF
29、的最小值为6.1.基本概念在圆锥曲线中，还有一类曲线系方程，对其参数取不同值时，曲线本身的性质不变；或形态发生某些变化，但其某些固有的共同性质始终保持着，这就是我们所指的定值问题.而当某参数取不同值时，某几何量达到最大或最小，这就是我们指的最值问题.曲线遵循某种条件时，参数有相应的允许取值范围，即我们指的参变数取值范围问题.2.基本求法解析几何中的最值和定值问题是以圆锥曲线与直线为载体，以函数、不等式、导数等知识为背景，综合解决实际问题，其常用方法有
30、两种：(1)代数法：引入参变量，通过圆锥曲线的性质，及曲线与曲线的交点理论、韦达定理、方程思想等，用变量表示(计算)最值与定值问题，再用函数思想、不等式方法得到最值、定值；(2)几何法：若问题的条件和结论能明显的体现几何特征，利用图形性质来解决最值与定值问题.在圆锥曲线中经常遇到求范围问题，这类问题在题目中往往没有给出不等关系，需要我们去寻找.对于圆锥曲线的参数的取值范围问题,解法通常有两种:当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义时,可考虑利用数形结合法求解或构造参数满足的不等式（如双曲线的范围，直线与圆锥曲线相交时Δ>0等），通过解不等式（组）求得参数的取值范围；当题目
31、的条件和结论能体现一种明确的函数关系时，则可先建立目标函数，进而转化为求解函数的值域.题型一定点问题例1已知A(1,0),B(-1,0),P是平面上一动点，且满足
32、
33、·
34、
35、=·.(1)求点P的轨迹C的方程；(2)已知点M(m,2)在曲线C上，过点M作直线l1、l2与C交于D、E两点，且l1、l2的斜率k1、k2满足k1k2=2,求证：直线DE过定点，并求此定点.(1)设P(x,y),则=（1-x,-y),=(-1-x,-y),=(-2,0),=(2,0).因为
36、
37、·
38、
39、=·，所以·2=2(x+1),即y2=4x,所以点P的轨迹C的方程为y2=4x.(2)证明:由(1)知M(1
40、,2),设D(,y1),E(,y2),所以k1k2==2,整理得(y1+2)(y2+2)=8.①kDE===k,所以y1+y2=.②由①②知y1y2=4-,所以直线DE的方程为y-y1=(x-),整理得4x-(y1+y2)y+y1y2=0,即4x-y+4-=0,即(x+1)k-(y+2)=0,所以直线DE过定点(-1,-2).与圆锥曲线有关的定点问题的探求一般途径是恰当引入参变量，将题设转化为坐标关系式，然后通过分析参变量取符合题设条件的任何一个值时，坐标关系式恒成立的条件，而获得定点坐标.题型二定值问题例2如图，F1(-3,0),F2(3,0)是双曲线C的两焦点,其一条渐近
41、线方程为y=x,A1、A2是双曲线C的两个顶点，点P是双曲线C右支上异于A2的一动点，直线A1P,A2P交直线x=分别于M、N两点.(1)求双曲线C的方程；(2)求证：是定值.(1)由已知，c=3,=.又c2=a2+b2，所以a=2,b=5.所求双曲线C的方程为=1.(2)证明：设P的坐标为(x0,y0),M、N的纵坐标分别为y1、y2,因为A1(-2,0),A2(2,0),所以=(x0+2,y0),=(x0-2,y0),=(，y1),=(-,y2).因为与共线，所以(x0+2)y1=y0,y1=.同理
