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1、第五章：OLS的渐进性(OLSAsymptotics)§5.1一致性§5.2渐近正态和大样本推断§5.3OLS的渐进有效性第一节一致性(consistency)一、一致性的含义令Wn是基于样本y1,y2…yn的关于参数θ的估计量，如果对任意ε>0，当n→∞时，Pr(
2、Wn−θ
3、>ε)→0，Wn就是θ的一个一致估计量(consistentestimator)。当Wn具有一致性时，我们也称θ为Wn的概率极限(probabilitylimitofWn)，记作Plim(Wn)=θ。1.定义2.为什么要考虑一致性我们已经讨论了有限样本(finitesample)，也就是小样
4、本(smallsample)中OLS估计量(OLSestimators)和检验统计量(teststatistics)具有的如下性质：在MLR.1-4下OLS估计量具有无偏性(Unbiasedness)在MLR.1-5下OLS估计量是最优线性无偏无计量(BLUE)在MLR.1-6下OLS估计量是最小方差无偏估计量(MVUE)T统计量的分布为t分布样本容量为任意n时，这些性质都成立。由于在很多情形下误差项可能呈现非正态分布，了解OLS估计量和检验统计量的渐近性，即当样本容量任意大时(whenthesamplesizegrowswithoutbound)的特性就是重要的
5、问题。虽然在高斯－马尔可夫假定下OLS是最优线性无偏估计量，但在别的情形下不一定能找到无偏估计量。因此，在那些情形下，我们只要找到一致的估计量，即n∞时,这些估计量的分布退化为参数的真值即可。当n增加时样本的分布(SamplingDistributionsasnincreases)b1n1n2n3β1的样本分布例：n1:每次从班上抽取10人，抽若干次后，平均身高的分布；n2:每次从班上抽取100人，抽若干次后，平均身高的分布；n3:每次从班上抽取200人，抽若干次后，平均身高的分布。3.一致性和无偏性的关系(Consistencyv.s.unbiasedness
6、)一个估计量是否有可能在有限样本（小样本）中是有偏的但在大样本条件下又具有一致性？假设Z的真值为0，一个随机变量X以(n-1)/n的概率取值为Z，而以1/n的概率取值为n。那么，X的期望为1，也就是：记plim(x)为n趋向无穷大时x的取值，则有：plim(x)=z=0是否有可能一个估计量是无偏的但又不具备一致性？依然假设Z的真值为0，一个随机变量X以0.5的概率取0.5，而以0.5的概率取-0.5，那么X的期望为0，也就是说，X是Z的无偏估计量。但是，X总是在X=0这条线上下摆动，当n趋向无穷大时，它的方差并不会趋于0。因此，X并不是Z的一致估计量，也就是说X不
7、具备一致性。无偏估计量未必是一致的，但是那些当样本容量增大时方差会收缩到零的无偏估计量是一致的。二、OLS估计量的一致性1.定理5.1在假设MLR.1到MLR.4下，OLS截距估计量和斜率估计量都是一致的估计量。2.证明一致性在简单回归中，斜率的估计量为：n→∞时，分子趋近于0，但分母却不趋近于0，因此，当n→∞时，Plim()=3.一个更弱的假定要获得估计量的无偏性(unbiasedness)，我们假定零条件期望(zeroconditionalmean)：E(u
8、x1,x2,…,xk)=0而要获得估计量的一致性(consistency)，我们可以使用更弱的假定：
9、零期望和零相关性假定，即：E(u)=0，Cov(xj,u)=0,j=1,2,…,k。如果连这个较弱的假定也不成立，OLS将是有偏(biased)而且不一致的(inconsistent)。上述讨论表明：如果OLS估计量是无偏的，那么它一定是一致的；但是如果OLS估计量是一致的，却不能保证它是无偏的。推导不一致性定义渐近偏差(asymptoticbias)为：，并考虑下面的真实模型和待估计模型。真实的模型为：实际进行估计的模型为：显然：则：因此，考虑渐近偏差的方向就像是考虑存在一个遗漏变量时偏差的方向。主要的区别在于渐近偏差用总体方差和总体协方差表示，而遗漏变量时的偏
10、差则是基于它们在样本中的对应量。值得注意的是，不一致性是一个大样本问题。因此，当数据增加时候这个问题并不会消失。也就是说，即使样本容量再大，OLS估计的偏误也不会消失，而且会收敛到一个有偏误的值。4.存在内生性时的一致性考虑真实模型为y=b0+b1x1+b2x2+u，但u和x1相关，即cov(u,x1)≠0。则OLS估计量的不一致性（inconsistency）为：若x1和x2相关，即cov(x1,x2)≠0，而u和x2不相关，即cov(u,x2)=0时，则对b1和b2的OLS估计量都是不一致的。若x1和x2不相关，即cov(x1,x2)=0，且u和x2不相关，即
11、cov(u
