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1、第九章拉普拉斯变换§9.1拉普拉斯变换的概念§9.2拉氏变换的性质§9.3拉氏逆变换§9.4拉氏变换的应用引言Fourier变换的限制:绝对可积在整个数轴上有定义指数衰减函数e-bt(b>0)单位阶跃函数u(t)演变为拉氏变换双边拉氏变换:傅氏变换:傅氏变换与拉氏变换的关系¥<<¥-+=tjswb双边拉氏变换¥<<¥-=tjsw傅氏变换¥<<+=tjs0wb单边拉氏变换§9.1拉普拉斯变换的概念一、拉氏变换的定义设函数f(t)当t≥0时有定义，而且积分在s的某一域内收敛(s是一个复参量)，则由此积分决定的函数可写为称F(s)为f(t)的拉
2、普拉斯变换(简称拉氏变换)或象函数，记为F(s)=L[f(t)].又称f(t)为F(s)的拉普拉斯逆变换(简称为拉氏逆变换)或象原函数，即f(t)=L-1[F(s)]解:由拉氏变换的定义有例1分别求出单位阶跃函数u(t),符号函数sgnt,以及f(t)=1的拉氏变换(Res>0)(Res>0)(Res>0)例2求出指数函数f(t)=ekt的拉氏变换解:(Res>Rek)例3求正弦函数f(t)=sinkt(k为实数)的laplace变换解:根据定义有同理可得二、拉氏变换的存在定理拉氏变换存在定理:设函数f(t)满足下列条件：2°f(t)在t
3、≥0的任一有限区间上分段连续，间断点的个数是有限个，且都是第一类间断点；3°f(t)是指数级函数(增长速度不超过指数函数)1°当t＜0时，f(t)=0；则f(t)的拉氏变换在半平面Re(s)＞c一定存在，F(s)是解析函数。即存在常数M>0及c>0使
4、f(t)
5、≤Mect(0≤t<+∞)c称为f(t)的增长指数三、关于拉氏变换的积分下限问题f(t)在t=0附近有界时,f(0)与f(t)的Laplace变换无关f(t)在t=0包含了脉冲函数，我们就必须区分这个积分区间包括t=0这一点，还是不包括t=0这一点假如包括，我们把积分下限记为0+；
6、假如不包括，我们把积分下限记为0-，于是得出了不同的拉氏变换。记例4求单位脉冲函数d(t)的laplace变换.显然L+[d(t)]=0=1.例5求函数f(t)=e-btd(t)-be-btu(t)的laplace变换.解:解:[Re(s)>-∞](Res>Reb)四、常用函数的拉氏变换公式(1)线性性质设a、b为常数,§9.2拉氏变换的性质例1:求常数A的Laplace变换.例2:求函数f(t)=A(1-e-at)的Laplace变换.解:解:例3求正弦函数f(t)=sinkt(k为实数)的laplace变换解:例4求余弦函数f(t)=
7、coskt(k为实数)的laplace变换(2)相似性质(a为正实数)设L[f(t)]=F(s),则当a为正实数时证明：解:(3)微分性质推论：设L[f(t)]=F(s),则有证明：例5求函数f(t)=coswt的拉氏变换例6求函数f(t)=tm的拉氏变换解:由于故根据线性性质有解:故(4)象函数微分性质一般地，有例7求函数f(t)=t的拉氏变换解:由于故例8求函数f(t)=te-at的拉氏变换设L[f(t)]=F(s),则(5)积分性质解:由于故例9求函数f(t)=tsinkt的拉氏变换解:由于故设L[f(t)]=F(s),则推论:证明
8、：例10求函数的拉氏变换解:由拉氏变换积分性质有由微分性质有(6)象函数积分性质若L[f(t)]=F(s)，则证明：两边对s积分：交换积分次序:推论:例11求函数f(t)=sint/t的拉氏变换解:由于则由象函数积分性质有=arccots令s=0得(7)延迟性质若t<0时,则对任一非负实数t0有证明：例11设a>0,b>0,求单位阶跃函数1,t>b/a,0,t
9、)=e-atsinwt的拉氏变换解:由于则由位移性质有同理§2.3拉氏逆变换由拉氏变换的定义有由傅氏逆变换的定义有两边同乘以ebt1.反演积分公式积分路线是平行于虚轴的直线Res=β反演积分公式一、求解常微分方程(组)§2.4拉氏变换的应用象原函数(方程的解)象函数微分方程象函数的代数方程取Laplace变换取Laplace逆变换解代数方程例19求解微分方程解:设L[x(t)]=X(s),方程两边取拉氏变换解此方程得:求拉氏逆变换得:解:解此方程组得:取拉氏逆变换得x(t)=y(t)=et例20求解微分方程组解:设L[x(t)]=X(s)
10、,L[y(t)]=Y(s),方程取拉氏变换作业P236T9.2(3)(4)(5)(6)T9.8(3)(4)(7)(8)T9.12(1)(3)(5)
