上海海事大学11-12数值分析试A卷答案.doc

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1、上海海事大学2011---2012学年第2学期研究生数值分析课程考试试卷A（答案）学生姓名：　　　　　　学号：　　　　专业：　　　　　　　　一．填空题（每小格2分共30分）1.利用Jacobi迭代法求解Ax=b时，其迭代矩阵是；当系数矩阵A满足严格对角占优时，Jacobi迭代法收敛。x01242.已知函数有数据f19233则其3次Lagrange插值多式的基函数为插值余项为3.求解常微分方程初值问题的Euler公式为，它是1阶方法。4.设则差商7　0　5.对于求解Ax=b，如果右端有的扰动存在而引起解的误差为，则相对误差6.Gauss型数值求积公式　　　的代数精度具有2n+1___次

2、，求积系数的表达式为＝,且　　b-ａ　　　　61.幂法是求矩阵　按模最大特征值和特征向量的计算方法．Jacobi法是计算实对称矩阵的所有特征值和特征向量的计算方法8.对于给定的正数k，Newton法解二次方程的迭代公式为二．设函数，已知，试利用切比雪夫多项式最小零偏差的性质，求函数在区间[-1，1]上的次数低于4的最佳一致逼近。（5分）解：由切比雪夫多项式最小零偏差的性质得：故：三．用代数精度确定求积公式的求积系数，并指出其具有的代数精度。（7分）解：具有三次代数精度。四．当具有四阶连续导数时，试求出二阶三点数值微分公式的截断误差。（6分）解：故：五．设是关于互异节点的Lagrang

3、e插值基函数，试证明：（7分）解：设的n+1阶导数存在，则有：6当时，，所以有当时（），所以又时，取时，有。六．设有方程组Ax=b，其中A为对称正定矩阵，迭代公式为使迭代序列收敛到Ax=b的解，试讨论参数的取值范围。（7分）证明：可以得迭代矩阵，特征值为，又A对称正定，所以特征值非负，设如，则，故时，，成立，所以迭代收敛。七．在[0，2]上具有四阶连续导数，已知，，和试用Newton-Hermite插值法求满足上列条件的一个次数不超过3的插值多项式，并估计误差。（7分）解：,,由得6又=，八．对于迭代函数，试讨论：1）当C取何值时，产生的序列局部收敛于。2）C取何值时迭代至少具有二阶

4、收敛速度。（7分）解：，，且连续。由定理得，也即时迭代局部收敛。又：当，即C=时，迭代至少是二阶收敛的。九．设，证明：右矩形求积公式当，试从几何上说明右矩形求积公式与实际积分数值大小关系；试以此构造复合求积公式，并说明该复合求积公式是收敛的。（9分）解：因为：；故：=当时，又：分划[a,b]得：，k=1,2,…n得复合公式：所以：=其中：有：6十．求系数，使求解常微分方程初值问题的数值解公式的局部误差为（7分）解：设部长，且，。因，故又，比较得，十一.对于初值问题，若函数在区域，满足条件，试说明二阶Runge-Kutta方法在条件下是收敛的。并用该方法求解初值问题，讨论绝对稳定性对步

5、长的限制。（8分）解：因为：所以：，其中由收敛定理得：二阶Runge-Kutta方法是收敛的。另：由，得。66