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《教学课件第二节(应用留数定理计算实变函数定积分).ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、其中a-1就称为f(z)在z0的留数,记作Resf(z0),即复习1留数2留数定理设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点b1,b2,...,bn外处处解析.l是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则包括无限远点和有限远的奇点)()(lim00zfzzzz-®=非零有限值)()(lim00zfzzmzz=-®非零有限值判断极点的阶)()(lim00zfzzzz-®=)()()(lim0000zQzPzzzz-®=)]}()[({)!1(1lim)(Re01100zfzzdzdmzsfmmmzz--=--®求留数§4.2应用留数定理计算实变函数定积分留数定理的一个重要应用是计算实变函数的定积分
2、,我们需要把实变函数定积分跟复变函数回路积分联系起来,才能应用.yxOBl2l1ab的积分区间[a,b]可以看做复数平面上实轴的一端l1,如图,或者利用自变数的变换把l1变换为某个新的复数平面上的回路,这样就可以利用留数定理了;或者另外补上一段曲线l2,使l1和l2组成回路l,包围区域B把f(z)解析延拓到闭区域B(延拓把f(x)该为f(z)),并沿着l积分得左边利用留数定理,右边第一个为所求,第二个较容易算出(或为零),问题解决!类型一()的有理函数.为其中yxyxR,,()dRsin,cos20òxxpx,x=iez作变换例1计算解由公式得而由上节例题可知故可得结果为例2解由公式得计算此
3、回路积分的被积函数有两个单极点:而前者>1在回路之外,不予考虑,而单极点在
4、z
5、=1内,必须考虑,下面计算在的留数:由留数定理可得类型二积分区间为复变函数f(z)在实轴上没有奇点,在上半平面除有限个奇点外是解析的,且当z在上半平面和在实轴上时,zf(z)一致地如果f(x)是有理分式上述条件意味着没有实的零点，的次数至少高于两次此积分可以理解为若此极限存在,则称此极限为反常积分的值,当极限存在的话,称该极限为积分的主值在这里我们主要计算类型二的积分主值我们考虑如下图的半圆形积分回路l:xyO+R-RCRR根据留数定理可得然后令上式左边趋于右边第一个积分趋于所求的定积分而第二项积分可以证明趋于零
6、其中,max
7、zf(z)
8、指的是
9、zf(z)
10、在CR上的最大值,由此可得{}òò+=+-RCRRdzzfdxxfzfi)()()(2数和所围半圆内各奇点的留在lp例3解计算本题中,具有单极点士i,其中+i在上半平面,并且有利用公式可得结果先求上半平面极点,然后求留数,最后得结果例4解计算本题中,在上半平面的奇点是n阶极点+i然后应用公式可求得结果例5解计算这里积分区间为不符合条件,不能直接应用公式!但被积函数1/(1+x2)n是偶函数,故有则有以下结论引用上题结果可得类型三这里积分区间为偶函数F(x)和奇函数G(x)在实轴上没有奇点,在上半平面除有限个奇点外是解析的,当z在上半平面或实轴上时
11、,F(z)和G(z)一致地首先我们把积分的形式变换如下:右边第二个积分中作代换x=-y,考虑到F(x)是偶函数有对于定积分来说,其值与积分变数符号无关,则有同理有由此我们把类型三化为类型二来处理!在类型二中,要求z在上半平面或实轴上时，zF(z)eimz和zG(z)eimz一致地，但我们希望条件可以放宽一些,由此我们引入约当引理,此时我们可以把条件放宽为F(z)和G(z)一致地约当引理设当z在上半平面或实轴上时，F(z)一致地，则有证明:设当z在上半平面或实轴上时,F(z)一致地,所以有只需证明有界即可!m为整数,以原点为圆心而位于上半平面的半圆周xyO+R-RCRR如图:在有令上式趋于有限
12、值,另一个类似证明!若m是负数,则约当引理形式为:其中是对于实轴的映像由此我们得到在放宽的条件下类型三的计算公式如下:例6解计算本题中,有两个单极点士ai其中,+ai在上半平面,且上述函数在单极点+ai的留数为于是我们可以得到结果如下例7解计算本题中,有两个二级极点士ai其中,+ai在上半平面,且上述函数在二级极点+ai的留数为由此我们可以得到结果类型四实轴上有单极点的情况考虑积分,被积函数f(x)在实轴上有某个单极点另外f(z)满足类型二的条件,由于存在极点,以为圆心,而充分小的正数为半径做半圆弧饶过奇点构成积分回路则有取极限则左边积分为，右边第一二项之和为所求积分,由约当引理知第三项为零
13、,然后来看第四项,按以下方法计算:将f(z)在的邻域展开为洛朗级数,由于是单极点其中为级数解析部分,在上连续且有界,则有同时取极限可得原积分为如果实轴上有有限个单极点,则可有实轴上有奇点的时候,仍然归结为留数的计算,但要注意(1)不是闭合曲线,f(z)洛朗展开的解析部分的积分值由于才趋于零.(2)实轴上的奇点只能是单极点,不能是二阶或者以上的极点,更不能是本性奇点,否则时,积分将趋于(极点情形)或者不存在(本
