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1、第一章第三节条件概率、全概公式、贝叶斯公式在解决许多概率问题时，往往需要求在有某些附加信息(条件)下事件发生的概率。一、条件概率1.条件概率的概念通常记事件B发生的条件下,事件A发生的概率为P(A
2、B)。一般情况下，P(A
3、B)≠P(A)。第一章第三节条件概率P(A)=1/6，例如：掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，B={掷出偶数点}，P(A
4、B)=？掷骰子已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B。于是，P(A
5、B)=1/3。B中共有3个元素，每个元素出现是等可能的，且其中只有1个(2点)在集合A中。容易看到：P(A
6、B)P(A)=3/10，又如：10件产品中有7件正品，3件
7、次品;7件正品中有3件一等品,4件二等品。现从这10件中任取一件，记B={取到正品}，A={取到一等品}，P(A
8、B)P(A)=3/10，B={取到正品}，P(A
9、B)=3/7。本例中，计算P(A)时，依据前提条件是10件产品中一等品的比例。A={取到一等品}，计算P(A
10、B)时，这个前提条件未变，只是加上“事件B已发生”这个新的条件。这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题。若事件B已发生,则为使A也发生,试验结果必须是既在B中又在A中的样本点,即此点必属于AB。由于我们已经知道B已发生,故B就变成了新的样本空间,于是就有(1)。设A、B是两个事件，且P(B
11、)>0，则称(1)2.条件概率的定义为在事件B发生条件下，事件A的条件概率。3.条件概率的性质设B是一事件，且P(B)>0,则1.对任一事件A，0≤P(A
12、B)≤1;2.P(Ω
13、B)=1；3.设A1,…,An,…互不相容，则P[(A1+…+An+…)
14、B]=P(A1
15、B)+…+P(An
16、B)+…而且，前面对概率所证明的一切性质，也都适用于条件概率。例如：对任意事件A1和A2,有P(A1∪A2
17、B)=P(A1
18、B)+P(A2
19、B)-P(A1A2
20、B)等。其他性质请同学们自行写出。2)从加入条件后改变了的情况去算4.条件概率的计算1)用定义计算:P(B)>0。掷骰子例：A={掷出2点}，B=
21、{掷出偶数点}，P(A
22、B）=B发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中A所含样本点个数例1：掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?解法1:解法2:解:设A={掷出点数之和不小于10}，B={第一颗掷出6点}。应用定义在B发生后的缩减样本空间中计算例2:设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4。问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？解:设A={能活20年以上},B={能活25年以上},依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.4，所求为P(B
23、A)。条件概率P(A
24、B)与P(A)的区别
25、每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设A是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下事件A发生的可能性大小。P(A)与P(A
26、B)的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同。而条件概率P(A
27、B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小，即P(A
28、B)仍是概率。由条件概率的定义：即若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A
29、B),(2)而P(AB)=P(BA)，二、乘法公式在已知P(B),P(A
30、B)时,可反解出P(AB)。将A、B的位置对调，有故P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B
31、A)。(3)若P(A)>0,则P(BA)=P(
32、A)P(B
33、A)，(2)和(3)式都称为乘法公式,利用它们可计算两个事件同时发生的概率。例3:甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件是乙厂生产的。而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？所求为P(AB)。甲、乙共生产1000个189个是标准件300个乙厂生产设B={零件是乙厂生产}，A={是标准件}，所求为P(AB)。设B={零件是乙厂生产}，A={是标准件}，若改为“发现它是乙厂生产的,问它是标准件的概率是多少?”求的是P(A
34、B)。B发生,在P(AB)中作为结果;在P(A
35、B)中作为条件。甲、乙共生产
36、1000个189个是标准件300个乙厂生产当P(A1A2…An-1)>0时，有P(A1A2…An）=P(A1)P(A2
37、A1)…P(An
38、A1A2…An-1)。推广到多个事件的乘法公式:解:例4:一批灯泡共100只,其中10只是次品,其余为正品,作不放回抽取,每次取一只,求:第三次才取到正品的概率。设Ai={第i次取到正品},i=1,2,3。A={第三次才取到正品}。则:解:例5:袋中有同型号小球b+r个，其中b个是黑球，r个是红球
