线性方程组向量组相关性习题课.ppt

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1、第三章线性方程组习题课定义1.线性组合2.线性表出定义3.线性相关定义:如果向量组中有一向量称为线性相关的.可经其余向量线性表出，则向量组定义：向量组称为线性相关如果存在P上不全为零的数使4.线性无关定义：若向量组　不线性相关，则称若不存在P中不全为零的数，使向量组为线性无关的.即则称向量组为线性无关的.必有等价的，对于一个向量组若由则称向量组为线性无关的.线性相关性的性质1）一向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余向量线性表出.部分相关->整体相关（整体无关->部分无关）短向量线性无关，则加长向量线性无关；长向量线性相关，则缩短向量线性相关定理2设　与为两个i)向量组

2、可经线性表出；则向量组必线性相关.ii)向量组，若推论1若向量组可经向量组线性表出，且线线性无关，则推论2任意n＋1个n维向量必线性相关.推论3两个线性无关的等价向量组必含相同个数的向量定义5.向量组的秩等价的向量组的秩相等．定理矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩．定理设向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大于向量组A的秩．推论１推论：一个向量组的任意两个极大无关组都等价.命题2：一个向量组的任意两个极大无关组都含有相同个数的向量.命题1：向量组和它的任一极大无关组等价.极大无关组的性质1）一个向量组的极大无关组不是唯一的.2）一个线性无关的向量组的极大无

3、关组是其自身.注：向量组的秩的性质一个向量组线性相关的充要条件是它的秩＜它所含向量个数.1）一个向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量个数相同；2）等价向量组必有相同的秩.反之，有相同的秩的两个向量组不一定等价.3）若向量组可经向量组线性表出，则秩秩6.矩阵的秩矩阵的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的秩，定义1.设　　　　　，则定理5设　　　　　，则推论1齐次线性方程组有非零解系数矩阵的行列式=0只有零解个级子式不等于0，且所有级子式等于0．定理6矩阵的秩为的充要条件是　中有一7线性方程组定理7线性方程组有解的充分必要条件是的系数矩阵与增广矩阵的秩相等，即7.1齐次线性方程组解的性质

4、；基础解系1.基础解系的条件2.基础解系的性质：与基础解系等价的线性无关组任意n-r个线性无关的解向量3.基础解系的求法7.2非齐次线性方程组解的性质解的结构推论非齐次线性方程组（3）在有解的条件下，解是唯一的充要条件是它的导出（4）只有零解.一、向量组线性关系的判定二、求向量组的秩三、基础解系的证法四、解向量的证法典　型　例　题一、向量组线性关系的判定研究这类问题一般有两个方法方法1从定义出发整理得线性方程组方法２　利用矩阵的秩与向量组的秩之间关系判定例１研究下列向量组的线性相关性解一整理得到解二分析证明证明向量组的一个部分组构成极大线性无关组的基本方法就是：分析根据极大线性无关组

5、的定义来证，（本身线性无关，其余向量可由其线性表出）它往往还与向量组的秩相联系．证明证明：只需证明向量部分组线性无关即可，两向量组等价，具有相同的秩因为向量组个数=秩，则该向量组线性无关即证证明：向量组(I)的极大无关组可由向量组(II)线性表出，而且(II)的极大无关组与(II)等价，即，向量组(I)的极大无关组可由(II)的极大无关组线性表出，(I)的极大无关组线性无关，由定理2的推论1，知，R(I)<=R(II)证明：两向量组等价，具有相同的秩n因为向量组个数=秩，则该向量组线性无关即证证明2：R(a1,a2,…an)=r<=n，R(II)=n,向量组II,可由向量组(I)线性

6、表出，所以R(II)=n<=R(I)=r所以r=n因此(I)线性无关即证证明：必要性：已知：向量组I线性无关，结论:任一n维向量可被向量组(I)线性表出。向向量组I中任意添加一向量，构成的新向量组共有n+1个n维向量构成，线性相关（定理2推论2）证明：充分性：已知：任一n维向量可被向量组(I)线性表，结论:出向量组I线性无关。任一n维向量可被向量组I线性表出，则n维单位向量也可被其线性表出，由(t13)可知，向量组I线性无关求一个向量组的秩，可以把它转化为矩阵的秩来求，这个矩阵是由这组向量为行（列）向量所排成的．如果向量组的向量以列向量的形式给出，把向量作为矩阵的列，对矩阵作初等行变

7、换，这样，不仅可以求出向量组的秩，而且可以求出极大线性无关组．二、求向量组的秩若矩阵A经过初等行变换化为矩阵B，则A和B中任何对应的列向量组都有相同的线性相关性．解例5证明与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系．三、基础解系的证法分析(3)方程组的任一解均可由该向量组线性表示．(1)该组向量都是方程组的解；(2)该组向量线性无关；要证明某一向量组是方程组　　　的基础解系，需要证明三个结论:证明注当线性方程组有非零解时，基础解系的取法不唯一，且不同的基