常微分方程ppt课件.ppt

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1、IV积分曲线与向量场表示区域D一条光滑曲线，称之为方程的积分曲线.设D为平面上的区域，考虑微分方程方程的通解当C变动时，表示区域D的一族曲线，称之为积分曲线族.转化初等积分法解分离变量方程可分离变量方程第二章分离变量方程的解法:设y＝(x)是方程①的解,两边积分,得①则有恒等式②当G(y)与F(x)可微且G’(y)＝g(y)≠0时,说明由②确定的隐函数y＝(x)是①的解.则有称②为方程①的隐式通解,或通积分.同样,当F’(x)=f(x)≠0时,上述过程可逆,由②确定的隐函数x＝(y)也是①的解.例1.求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即(C为任意常数)或说明

2、:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)例2.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为例3.求下述微分方程的通解:解:令则故有即解得(C为任意常数)所求通解:练习:解法1故有积分(C为任意常数)所求通解:(试用适当的变量代换)解法2分离变量即(C<0)例4.子的含量M成正比,求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t的变化规律.解:根据题意,有(初始条件)对方程分离变量,即利用初始条件,得故所求铀的变化规律为然后积分:已知t=0时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原例5.

3、成正比,求解:根据牛顿第二定律列方程初始条件为对方程分离变量,然后积分:得利用初始条件,得代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度降落伞下落速度与时间的函数关系.t足够大时综合例题已知曲线积分与路径无关,其中求由确定的隐函数解:因积分与路径无关,故有即因此有思考与练习求下列方程的通解:提示:(1)分离变量(2)方程变形为可分离变量方程的求解方法分离变量后积分;根据定解条件定常数.例6.有高1m的半球形容器,水从它的底部小孔流出,开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中,容器里水面的高度h随时间t的变解:由水力学

4、知,水从孔口流出的流量为即求水小孔横截面积化规律.流量系数孔口截面面积重力加速度设在内水面高度由h降到对应下降体积因此得微分方程定解问题:将方程分离变量:两端积分,得利用初始条件,得因此容器内水面高度h与时间t有下列关系:齐次方程一、齐次方程二、可化为齐次方程第二章一、齐次方程形如的方程叫做齐次方程.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:例1.解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(当C=0时,y=0也是方程的解)(C为任意常数)例2.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明:显然x=0,y=0,

5、y=x也是原方程的解,但在(C为任意常数)求解过程中丢失了.可得OMA=OAM=例3.在制造探照灯反射镜面时,解:设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线绕x轴旋转而成.过曲线上任意点M(x,y)作切线MT,由光的反射定律:入射角=反射角取x轴平行于光线反射方向,从而AO=OM要求点光源的光线反射出去有良好的方向性,试求反射镜面的形状.而AO于是得微分方程:利用曲线的对称性,不妨设y>0,积分得故有得(抛物线)故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程)顶到底的距离为h,说明:则将这时旋转曲面方程为若已知反射镜面的底面直径为d,代入通解表达式得(h,k为待二、可化为齐

6、次方程的方程作变换原方程化为令,解出h,k(齐次方程)定常数),求出其解后,即得原方程的解.原方程可化为令(可分离变量方程)注:上述方法可适用于下述更一般的方程例4.求解解:令得再令Y＝Xu,得令积分得代回原变量,得原方程的通解:得C=1,故所求特解为练习:若方程改为如何求解?提示:找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法1)根据几何关系列方程2)根据物理规律列方程3)根据微量分析平衡关系列方程(2)利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3)求通解,并根据定解条件确定特解.3.解微分方程应用题的方法和步骤线性微分方程一、一阶线性微分方程二、伯努利方程第二

7、章一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若Q(x)0,若Q(x)0,称为非齐次方程.1.解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程;对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程用常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得例1.解方程解:先解即积分得即用常数变易法求特解.令则代入非齐次方程得解得故原方程通解为例2.求方程的通解.解:注意x,y同号,由一阶线性方程通解公式,得故方程可变形为所求通解为这是以为因变量,y为自变量的一阶线性方程在闭合回路中,所有支路上的电压降为0例3.有一电路如图所