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1、数学建模－ 微分方程模型关晓飞同济大学数学科学学院一、什么是微分方程？最最简单的例子引例一曲线通过点（1，2），且在该曲线任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。解因此，所求曲线的方程为若设曲线方程为，又因曲线满足条件根据导数的几何意义可知未知函数满足关系式：对（1）式两端积分得：代入（3）得C＝1回答什么是微分方程：建立关于未知变量、未知变量的导数以及自变量的方程二、微分方程的解法积分方法，分离变量法可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.解法为微分方程的解.分离变量法例1求解微分方程解分
2、离变量两端积分典型例题过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.例2.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为练习题练习题答案三、建立微分方程数学模型1、简单的数学模型2、复杂的数学模型1、简单的数学模型利用微分方程求实际问题中未知函数的一般步骤是：(1)分析问题，设所求未知函数，建立微分方程，确定初始条件；(2)求出微分方程的通解；(3)根据初始条件确定通解中的任意常数，求出微分方程相应的
3、特解．实际问题需寻求某个变量y随另一变量t的变化规律：y=y(t).直接求很困难建立关于未知变量、未知变量的导数以及自变量的方程建立变量能满足的微分方程？哪一类问题在工程实际问题中“改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关键词提示我们注意什么量在变化.关键词“速率”,“增长”,“衰变”,“边际的”,常涉及到导数.建立方法常用微分方程运用已知物理定律利用平衡与增长式运用微元法应用分析法机理分析法建立微分方程模型时应用已知物理定律，可事半功倍一、运用已知物理定律例1铀的衰变规律问题：放射性元素由于不断地有原子放射
4、出微粒子变成其他元素，铀的含量不断的减少，这种现象称为衰变，由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比，已知t＝0时刻铀的含量为，求在衰变过程中铀的含量M（t）随时间t的变化规律。铀的衰变速度就是对时间t的导数，解因此，由于衰变速度与其含量成正比，可知未知函数满足关系式：对上式两端积分得：是衰变系数且初始条件分离变量得代入初始条件得所以有，这就是铀的衰变规律。例2一个较热的物体置于室温为180c的房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后降到500c.想知道它的温度降到300c需要多少
5、时间？10分钟以后它的温度是多少？一、运用已知物理定律牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体放入处于常温m的介质中时，T的变化速率正比于T与周围介质的温度差.分析：假设房间足够大，放入温度较低或较高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似.建立模型：设物体在冷却过程中的温度为T(t)，t≥0，“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差”翻译为数学语言建立微分方程其中参数k>0，m=18.求得一般解为ln(T－m)=－kt+c,代入条件:求得c=42，,最后得T
6、(t)=18+42,t≥0.结果：T(10)=18+42=25.870，该物体温度降至300c需要8.17分钟.另一个例子：已知物体在空气中冷却的速率与该物体及空气两者温度的差成正比．设有一瓶热水，水温原来是100℃，空气的温度是20℃，经过20小时以后，瓶内水温降到60℃，求瓶内水温的变化规律．例3：已知物体在空气中冷却的速率与该物体及空气两者温度的差成正比．设有一瓶热水，水温原来是100℃，空气的温度是20℃，经过20小时以后，瓶内水温降到60℃，求瓶内水温的变化规律．解可以认为在水的冷却过程中，空气的温
7、度是不变的．由题意，得其中k是比例系数(k>0)．由于是单调减少的，即设瓶内水的温度与时间之间的函数关系为，则水的冷却速率为,(1)所以(1)式右边前面应加“负号”．初始条件为．对(1)式分离变量，得于是方程(1)的特解为两边积分得即把初始条件代入上式，求得C=80，其中比例系数k可用问题所给的另一条件来确定，即解得因此瓶内水温与时间的函数关系为二.利用平衡与增长式许多研究对象在数量上常常表现出某种不变的特性，如封闭区域内的能量、货币量等.利用变量间的平衡与增长特性,可分析和建立有关变量间的相互关系.解例1某
8、车间体积为12000立方米,开始时空气中含有的,为了降低车间内空气中的含量,用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含的的新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动6分钟后,车间内的百分比降低到多少?设鼓风机开动后时刻的含量为在内,的通入量的排出量的通入量的排出量的改变量6分钟后,车间内的百分比降低到二.利用平衡与增长式例2简单人口增长模型对某地区时刻t的人口总数N(t)，除考虑
