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1、导数的概念（5月4日）教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。教学重点：导数的概念以及求导数教学难点：导数的概念教学过程：一、导入新课：上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。二、新授课：1.设函数yf(x)在xx0处附近有定义，当自变量在xx0处有增量x时，则函数Yf(x)相应地有增量yf(x0x)f(x0)，如果x0时，y与x的比y（也x叫函数的平均变化率）有极限即y无限趋近
2、于某个常数，我们把这个极限值叫做函数xyf(x)在xx0处的导数，记作y/xx0，即f/(x0)limf(x0x)f(x0)x0x注：1.函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在。2.在定义导数的极限式中，x趋近于0可正、可负、但不为0，而y可能为0。3.y是函数yf(x)对自变量x在x范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线xyf(x)上点（x0,f(x0)）及点(x0x,f(x0x)）的割线斜率。4.导数f/(x0)limf(x0x)f(x0)是函数yf(x)在点x0的处瞬时变化率，x0x它反映的函数yf(x)在
3、点x0处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线yf(x)上点（x0,f(x0)）处的切线的斜率。因此，如果yf(x)在点x0可导，则曲线yf(x)在点（x0,f(x0)）处的切线方程为yf(x0)f/(x0)(xx0)。5.导数是一个局部概念，它只与函数yf(x)在x0及其附近的函数值有关，与x无关。6.在定义式中，设xx0x，则xxx0，当x趋近于0时，x趋近于x0，因第1页共4页此，导数的定义式可写成f/(x0)limf(x0x)f(x0)limf(x)f(x0)。xoxxx0xx07.若极限limf(x0x)f(x0
4、)不存在，则称函数yf(x)在点x0处不可导。x0x8.若f(x)在x0可导，则曲线yf(x)在点（x0,f(x0)）有切线存在。反之不然，若曲线yf(x)在点（x0,f(x0)）有切线，函数yf(x)在x0不一定可导，并且，若函数yf(x)在x0不可导，曲线在点（x0,f(x0)）也可能有切线。一般地，lim(abx)a，其中a,b为常数。x0特别地，limaa。x0如果函数yf(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x(a,b)，都对应着一个确定的导数f/(x)，从而构成了一个新的函数f/(x)。
5、称这个函数f/(x)为函数yf(x)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y/，即f/(x)＝y/＝limylimf(xx)f(x)x0xx0x函数yf(x)在x0处的导数y/xx就是函数yf(x)在开区间(a,b)(x(a,b))上导0数f/()x0处的函数值，即/xx0＝f/(x0)。所以函数yf(x)在x0处的导数也记x在y作f/(x0)。注：1.如果函数yf(x)在开区间(a,b)内每一点都有导数，则称函数yf(x)在开区间(a,b)内可导。2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函
6、数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数yf(x)在点x0处的导数就是导函数f/(x)在点x0的函数值。3.求导函数时，只需将求导数式中的x0换成x就可，即f/(x)＝lim0f(xx)f(x)xx4.由导数的定义可知，求函数yf(x)的导数的一般方法是：（1）.求函数的改变量yf(xx)f(x)。第2页共4页（2）.求平均变化率yf(xx)f(x)。xx（3）.取极限，得导数y/＝limy。x0x例1.求y2x21在x＝－3处的导数。例2.已知函数yx2x（1）求y/。（2）求函数yx2x在
7、x＝2处的导数。小结：理解导数的概念并会运用概念求导数。练习与作业：1.求下列函数的导数：（1）y3x4；（2）y12x(3)y3x212x(3)y5x32.求函数yx21在－1,0，1处导数。第3页共4页3.求下列函数在指定点处的导数：（1）yx2,x02；（3）y(x2)2,x014.求下列函数的导数：（1）y4x1;（3）y233;xx5.求函数yx22x在－2,0，2处的导数。（2）y1x2,x00；3（4）yx2x,x01.（2）y10x2；（4）y2x27。第4页共4页
