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《高三数学教案：圆锥曲线定义应用.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、圆锥曲线定义的应用一、基本知识概要1、知识精讲：涉及圆锥曲线上的点与两个焦点构成的三角形，常用第一定义结合正余弦定理；涉及焦点、准线、圆锥曲线上的点，常用统一的定义。椭圆的定义：点集M={P
2、
3、PF1
4、+
5、PF2
6、=2a，2a＞
7、F1F2
8、}；双曲线的定义：点集M={P
9、︱
10、PF1
11、-
12、PF2
13、︱=2a，(2a
14、F1F2
15、)}的点的轨迹。抛物线的定义：到一个定点Ｆ的距离与到一条得直线Ｌ的距离相等的点的轨迹．统一定义：M={P
16、PF为双曲线，e＝1为抛物线e，}0＜e＜1为椭圆，e>1d重点、难点：培养运用定义解题的意识2、思维方式：等价转换思想，数形结合特别注意：圆锥曲线各自定义
17、的区别与联系二、例题选讲例1、已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别为1和2，且
18、O1O2
19、=4，动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线。解：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为轴建立平面直角坐标系。由
20、O1O2
21、=4有O1（-2，0），O2（2，0）。设动圆的半径为r。由动圆M与圆O1内切有
22、MO1
23、=
24、r-1
25、.由动圆M与圆O2内切有
26、MO2
27、=r+2。∴
28、MO1
29、+
30、MO2
31、=3或
32、MO1
33、-
34、MO2
35、=-3,∵
36、O1O2
37、=4∴
38、MO1
39、-
40、MO2
41、=-3∴M的轨迹是以O1、O2为焦点，长轴为3的双曲线的左
42、支。所以M的轨迹方程为4x24y21（x<0）97[思维点拔]利用圆锥曲线定义求轨迹是一种常用的方法变式练习：F１、F２是椭圆x2y21（a>b>0）的两焦点，P是椭圆上任一点,从任一焦点引∠F1PF2a2b2的外角平分线的垂线，垂足为Q的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线延长垂线F1Q交F2P的延长线于点A等腰三角形APF1中，PFAP从而AFAPPFPFPF2a122121AF2a选AOQ2x2y21（a＞０，b＞０），Ｐ为双曲线上任一点，∠F1PF2=θ,求F1PF2的面积．例２：已知双曲线b2a2解：在F1PF2中，由三角形面积公式和余弦定理得ＳF1PF2＝1｜
43、ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜sinθ①(2c)2＝｜2第1页共3页ＰＦ１｜2+｜ＰＦ２｜2-2｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜cosθ②由双曲线的定义可得｜ＰＦ１｜-｜ＰＦ２｜=2a,即｜ＰＦ１｜2+｜ＰＦ２｜2｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜=4a2③由②③得｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜=2b2-2④将④①1cos代入得ＳF1PF2＝b2sin=b2cot,所以双曲线的焦点三角形的面积为b2cot．1cos22[思维点拔]焦点三角形中，通常用定义和正余弦定理例３：已知Ａ（11，３）为一定点，Ｆ为双曲线x2y21的右焦点，Ｍ在双曲线右支上移动，当｜Ａ2927Ｍ｜＋1｜ＭＦ｜最小时，求Ｍ点的坐标．21｜ＭＦ｜＝｜Ｍ
44、Ｐ｜，∴｜ＡＭ｜＋1｜ＭＦ｜＝｜ＡＭ｜＋｜Ｍ解：∵过Ｍ作ＭＰ准线于点Ｐ，则22Ｐ｜≤｜ＡＰ｜．当且公当Ａ、Ｍ、Ｐ三点共线时，｜ＡＭ｜＋1｜ＭＦ｜最小。此时Ｍ（23，３）。2[思维点拔]距离和差最值问题，常利用三角形两边之和差与第三边之间的关系.12数量关系用定义来进行转换变式：设Ｐ（x,y）是椭圆x2y21（a>b>0）上一点，Ｆ１、Ｆ２为椭圆的两焦点，求｜ＰＦ１｜·｜a2b2ＰＦ２｜的最大值和最小值。解：由椭圆第二定义知｜ＰＦ１｜＝a+ex,｜ＰＦ2｜＝a-ex,则｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜=a2-e2x2,而0≤x2≤a2,所以｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜的最大值为a2，最小值为b2。
45、例4．过抛物线y2＝2px的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于P1、P2两点，求证：以P1P2为直径的圆和这抛物线的准线相切．分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．证明：如图2-17．设P1P2的中点为P0，过P1、P0、P2分别向准线l引垂线P1Q1，P0Q0，P2Q2，垂足为Q1、Q0、Q2，则｜P1F｜＝｜P1Q1｜，｜P2F｜＝｜P2Q2｜∴｜P1P2｜＝｜P1F｜＋｜P2F｜＝｜P1Q1｜＋｜P2Q2｜＝2｜P0Q0｜所以P0Q0是以P1P2为直径的圆P0的半径，且P0Q0⊥l，因而圆P0和准线l相切．[思维点拔]以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切．类似有：
46、以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离；以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．以上结论均可用第二定义证明之．变式：求证：以双曲线的任意焦半径为直径的圆，与以实轴为直径的圆相切．第2页共3页取F1P的中点为O1，连结O1O，只须证明：以F1P为直径的圆与实轴A1A2为直径的圆内切．在△PF1F2中，O1O为△PF1F2的中位线故以双曲线的任意焦半径为直径的圆，与以实轴为直径的圆内切．例5、求过定点（1,2），以x轴为准线，离心率为0.5的椭圆的下顶点的轨迹方程。解：设下顶点为
