高三数学教案：函数的和差积商的导数2.docx

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1、函数的和、差、积、商的导数（2）目的要求1．掌握两个函数的商的求导法则.2．能正确运用已学过的导数四则运算法则，求某些简单函数的导数.3．能运用导数的几何意义与物理意义，解决有关的曲线、直线问题及物体运动问题.教学过程一、复习引入（1）求函数y=x2+sinx的导数.（2）求函数y=x2sinx的导数.（3）问题：如何求函数y=x2的导数？sinx二、新授1．法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方.u’=u'vuv'（v）vv20回顾导数定义：f(x

2、)limy=limf(xx)f(x)x0xx0x证明：设y=f(x)=u(x)，v(x)0.v(x)则y=u(xx)－u(x)＝u(xx)v(x)u(x)v(xx)v(xx)v(x)v(xx)v(x)u(xx)u(x)v(x)u(x)v(xx)v(x)=v(xx)v(x)yu(xx)u(x)v(x)u(x)v(xx)v(x)xx.=v(xx)v(x)x因为v(x)在点x处可导，所以v(x)在点x处连续.于是当x0时，v(x+x)v(x).从而limyu'(x)v(x)u(x)v'(x)即’u’=u'vuv

3、'.x=2.y=vv2x0v(x)说明：若两个函数可导，则它们的和、差、积、商（商的分母不为0）必可导.第1页共2页若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如，设f(x)=sinx+1、g(x)=cosx－1,则f(x)、g(x)在x=0处均不可导，xx但它们的和f(x)+g(x)=sinx+cosx在x=0处可导.三、范例例1判断下列求导是否正确，加以改正。1cosx2x(1cosx)x2sinxx2'=x2例2求y=x2的导数.sinx例3求y=x3在点x=3处的导数.x23例4求y

4、=tanx的导数变式练习：求y=cotx的导数.2例5求y＇＝1sinx的导数．sin2x解：将函数变形为：y＝1sin2x＝sin2sin2xy’＝（tanx）＇＋1（cotx）＇＝sec2x－2xcos2xsin22sinxcosx1csc2x．2x＝tanx＋1cotx．2例6求y＝3x2xx5x9的导数．x注：有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导．有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．例7求曲线y＝2x在点（１，１）处的切线方程．

5、x21回顾导数的几何意义：函数y＝f(x)在x0处的导数就是曲线y=f(x)在点p(x0,f(x))处的切线的斜率.例8曲线运动方程为s＝t1＋2t2，求t＝3时的速度．t2s(t)对时间t的导数:v(t)=s’(t).回顾导数的物理意义：瞬时速度是位移函数四、作业X03032第2页共2页