线面垂直习题精选.docx

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1、线面垂直的证明中的找线技巧通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直1如图1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC交BD于点O，求证：A1O平面MBD．证明：连结MO，A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1AACA，∴DB⊥平面A1ACC1，而AO1平面A1ACC1∴DB⊥A1O．设正方体棱长为a，则A1O23a2，MO23a2．24在Rt△A1C1M中，A1M29a2．∵A1O2MO2A1M2，∴AO1OM．∵OM∩4=，∴A1O⊥平面．DBOMBD评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算

2、来证明．利用面面垂直寻求线面垂直2如图2，P是△所在平面外的一点，且⊥平面，平面⊥平面．求证：⊥平面ABCPAABCPACPBCBC．PAC证明：在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D．因为平面PAC⊥平面PBC，且两平面交于PC，AD平面PAC，且AD⊥PC，由面面垂直的性质，得AD⊥平面PBC．又∵BC平面PBC，∴AD⊥BC．∵⊥平面，BC平面，∴⊥．PAABCABCPABC∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．（另外还可证分别与相交直线，垂直，从而得到⊥平面）．BCADACBCPAC评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两

3、条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直．一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直判定判定线面垂直面面垂直．这三者性质性质之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明．SAABCDASCSB，SC，SDE，F，GAESB3如图１所示，ABCD且垂直

4、于的平面分别交于．求证：，为正方形，⊥平面，过AGSD．证明：∵SA平面ABCD，BCSABAESABBCAESCAEFGSCAE∴SABC．∵ABBC，∴平面平面．∵平面．∴．又∵，∴，∴AE平面SBC．∴AESB．同理可证AGSD．评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化．4如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．证明：取AB的中

5、点Ｆ，连结CF，DF．∵ACBC，∴CFAB．∵ADBD，∴DFAB．CDF又CFDFF，∴AB平面CDCD．∵平面CDFAB．，∴又CDBE，BEABB，∴CD平面ABECDAH．，∵AHCD，AHBE，CDBEE，∴AH平面BCD．评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．5如图３，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA平面ABCAEPC，Ｅ为垂足，Ｆ是PBAEF．若⊥上任意一点，求证：平面⊥平面．PBC证明：∵AB是圆Ｏ的直径，∴ACBC．

6、∵PA平面ABCBC平面ABCPA，，∴BC．∴BCAPC平面．∵BC平面，PBC∴平面⊥平面．APCPBC∵⊥，平面∩平面＝，AEPCAPCPBCPC∴⊥平面．AEPBC∵AE平面，∴平面⊥平面．AEFAEFPBC评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系．6.空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，求证：AC⊥BDADBOC证明：过A作AO⊥平面BCD于OABCD，CDBO同理BC⊥DO∴O为△ABC的垂心于是BDCOBDAC7.证明：在

7、正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1DD1C1A1B1DCAB证明：连结ACBDACAC为A1C在平面AC上的射影BDA1CA1C平面BC1D同理可证A1CBC18.如图，PA平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MNABPNDCAMBEN//1DC.证：取PD中点E，则2PENDCAMBEN//AMAE//MN又CDADCDAEPACD平面PADCD//ABMNAB平面AC平面PADAE//MNAE9如图在ABC中，AD⊥BC，ED=2AE，过E作FG∥BC，且将AFG沿FG折起，使∠

8、A'ED=60°，求证:A'E⊥平面A'BC分析：弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。解：∵FG∥BC，AD⊥BCA'CDG∴A'E⊥FG∴A'E⊥BC设A'E=a，则ED=2a由余弦定理得：222A'D=A'E+E