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1、第三章多维随机变量及其分布1.一维随机变量的概念和离散型随机变量及其分布律2.一维分布函数4.随机变量函数的分布第二章中讨论的问题本章将给出二维随机变量、联合分布律、联合概率密度和二维联合分布函数的概念3.一维连续型随机变量及其概率密度§3.1二维随机变量的分布函数、边缘分布、条件分布到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布.但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.在打靶时,命中点的位置是由一对r.v(两个坐标)来确定的.飞机的重心在空中的位置是由三个r.v(三个坐标
2、）来确定的等等.一般地，我们称n个随机变量的整体X=(X1,X2,…，Xn)为n维随机变量或随机向量.以下重点讨论二维随机变量.请注意与一维情形的对照.的性质不仅与X及Y有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.▲定义(二维随机变量的分布函数)称为二维随机变量(X,Y)的分布函数或称为(X,Y)的联合分布函数.随机变量，对于任意的实数二元函数设是二维一、二维随机变量（X,Y）的联合分布函数一维随机变量的分布函数设X是一个r.v，称为X的分布函数.分布函数的几何意义如果用平面上的点(x,y)表示二维
3、r.v.(X,Y)的一组可能的取值，则F(x,y)表示(X,Y)的取值落入图所示角形区域的概率.性质1F(x,y)分别对x和y单调不减,即:对固定的y,x是不减的对固定的x,y是不减的性质2F(x,y)对每个自变量x或y是右连续的，即:联合分布函数的性质性质3随机点落在这三种情形所示的矩形内是不可能事件，故概率趋向于零随机点落在这种情况所示的矩形内是必然事件，故概率趋于1说明：不等式左边恰好是（X,Y）落在红色矩形域内的概率，而概率具有非负性，故得此不等式。性质4当时，有：x1x2y1y21.二维离
4、散型随机变量的定义如果随机变量X,Y的取值(x,y)只能是有限对或可列无限多对，则称(X,Y)为二维离散型随机变量.二、二维离散型随机变量2.二维离散型随机变量的分布律设二维离散型随机变量(X,Y)的所有可能取的值为为二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布或分布律，或称为联合分布律.则：其相应的概率一维离散型随机变量的分布律设xk(k=1,2,…)是离散型k=1,2,……随机变量X所取的一切可能值，称为离散型随机变量X的分布律注:同一维随机变量(离散型)类似，一般可用▲下列表格形式表示：Pij满足例
5、1同时掷两颗骰子，X表示第一颗骰子的点数，Y表示第二颗骰子的点数，则(X,Y)的联合分布律为列表表示为：（P62，例1）例2（续例1）用表示两颗骰子点数较大者，表示点数较小者，求的联合分布律。（P60，例2）例3将一枚均匀的硬币抛掷4次，X表示正面向上的次数，Y表示反面朝上次数。求(X,Y)的联合分布律.XY0413223140P(X=0,Y=4)=P(X=2,Y=2)==1/4=6/16P(X=3,Y=1)==1/4P(X=4,Y=0)=0.54=1/16P(X=1,Y=3)=0.54=1/16解
6、：概率非零的(X,Y)可能取值对为:其对应的概率分别为：X01234Y01234列表为：00001/160001/40006/160001/40001/1600001.二维连续型随机变量的定义如果随机变量(X,Y)的取值不能一一列出，而是充满一个平面区域,则称(X,Y)为连续型随机变量.三、二维连续型随机变量2.二维连续型随机变量的(联合)概率密度(1)定义设二维r.v.(X,Y)的分布函数为F(x,y),若存在非负可积函数f(x,y),使得对于任意实数x,y有则称(X,Y)为二维连续型r.v.f(
7、x,y)为(X,Y)的联合概率密度函数,简称联合密度设连续型随机变量X的分布函数为F(x),如果存在一个非负可积函数f(x),使得对任意实数x,有一维连续型随机变量的概率密度则称f(x)为X的概率密度函数，简称为概率密度或密度.(2)f(x,y)的性质性质1性质2性质3若f(x,y)在点(x,y)处连续，则：性质4设G是XOY平面上的一个区域，则点(X,Y)落在G内的概率为:非负性规范性分布函数与概率密度的关系求区域上的概率例4设（X，Y）具有概率密度常数A;（X，Y）落在由及所围区域G内的概率（P
8、62，例3）(1)解D(2)y=x0xy设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二维随机变量（X,Y）具有概率密度则称（X,Y）在G上服从均匀分布.二维均匀分布例5设r.v.(X,Y)的联合d.f.为其中k为常数.求常数k;(2)P(X>Y)（P63，例5）(1)解0xy1y=x2-1D0xy1y=x2-1(2)y=xD1例6设r.v.(X,Y)的联合d.f.为求(X,Y)的联合分布函数F(x,y)解当x<0或y<0时，F(x,y)=0当时（P64，例6）若二维随机变量
