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1、数值求积公式及代数精度数值求导方法与截断误差一阶常微分方程数值法《数值分析》典型例题IV插值型求积公式:求积系数求积余项等距结点插值型求积公式称为Newton-Cotes公式,偶数阶Newton-Cotes公式至少有(n+1)阶代数精度2/16求积结点1.梯形公式复合梯形求积公式令h=(b-a)/n求积余项3/162.辛卜生公式求积余项:两点高斯型数值求积公式4/16练习:复合辛卜生公式求积余项?一阶向前差商一阶向后差商二阶中心差商一阶中心差商5/16外推算法练习：二阶中心差商的外推公式？6/161.Euler方法常微分方程初值问题2.梯形公式:7/16预测-校正公式局部截断误差设y
2、n=y(xn),称Rn+1=y(xn+1)-yn+1为局部截断误差常表示为:O(hp+1)，p称为单步法的精度阶数又称为修正的Euler公式yn+1=yn+0.5h[k1+k2]k1=f(xn,yn),k2=f(xn+h,yn+hk1)8/16Ex1.推导左矩形求积公式令F(u)=F(a)+(u-a)F’(a)+0.5(u-a)2F”()练习:9/16Ex3.求复合中矩形公式的求积误差?Ex2.复合左矩形求积公式的求积误差设被积函数在积分区间上的一阶导数连续,由连续函数介值定理10/16Ex4.利用复合梯形公式计算积分使其截断误差不超过0.5×10-3,应算多少次函数值？提示：练习:给定
3、积分当要求误差小于10-3时用复合梯形公式和Simpson公式计算时,需要计算多少次函数值？11/16Ex5.验证，复合梯形公式与复合Simpson公式之间有如下关系12/16Ex6.定积分的计算问题可化为初值问题y’=f(t),y(a)=0试证明用Euler公式计算结果为其中,h=(b–a)/N,tn=a+nh(n=0,1,2,···,N)Ex7.试证明4阶Range-Kutta公式解[a,b]内初值问题y’=f(x),y(a)=0结果有:其中,h=(b–a)/N,xn=a+nh(n=0,1,2,···,N)13/16Ex8.将线性常系数非齐次高阶常微分方程初值问题:y(n)+a1y(n-
4、1)+a2y(n-2)+·······+any=f(x,y,····,y(n-1))y(x0)=y00,y’(x0)=y01,y”(x0)=y02,···y(n-1)(x0)=y0,n-1转化为一阶线性常微分方程组问题,并成出矩阵形式解:令y1(x)=y(x),y2(x)=y’(x),y3(x)=y”(x),····,yn(x)=y(n-1)(x),14/16Ex9.初值问题有解y(x)=0.5ax2+bx。若取xn=nh，yn为欧拉方法得到的数值解，试证明y(xn)–yn=0.5ahxn若取xn=nh，yn为用梯形公式计算所得的数值解，记y(xn)为初值问题的在x=xn处的解析解。试证明
5、:y(xn)=ynEx10.初值问题15/16写出梯形公式求解的计算格式，取步长h=0.2,计算函数y(x)在x=1.6处的近似值y2.Ex11.初值问题16/16
