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1、利用矩阵进行坐标转换之前做拓扑图，本来打算整一套坐标系统在里面的，后来因为时间原因暂时用了最原始的方法实现。现在稍稍得闲，重新开始思考这个问题。不过在搜索的时候，意外发现.NetFramework类库中自带的有实现坐标系转换功能的类。Reflector了一把，发现代码看不懂了——都是利用矩阵操作的。矩阵这玩意儿，几年没用早忘完了。于是认真学习了一把，顺便把如何用矩阵进行坐标转换的过程记录和注解一下。文中部分内容摘取自MSDN，搜索“变换的矩阵表示形式”即可找到。首先review一下矩阵的基础知识：m×n矩阵是排列
2、在m行和n列中的一系列数。下图显示几个矩阵。 可以通过将单个元素相加来加合两个尺寸相同的矩阵。下图显示了两个矩阵相加的示例。 m×n矩阵可与一个n×p矩阵相乘，结果为一个m×p矩阵。第一个矩阵的列数必须与第二个矩阵的行数相同。例如，一个4×2矩阵与一个2×3矩阵相乘，产生一个4×3矩阵。矩阵的行列的平面点可视为矢量。例如，(2,5)是具有两个组件的矢量，(3,7,1)是具有三个组件的矢量。两个矢量的点积定义如下：(a,b)?(c,d)=ac+bd(a,b,c)?(d,e,f)=ad+be+cf例如，(2,3)和(
3、5,4)的点积是(2)(5)+(3)(4)=22。(2,5,1)和(4,3,1)的点积是(2)(4)+(5)(3)+(1)(1)=24。请注意，两个矢量的点积是数字，而不是另一个矢量。另外请注意，只有当两个矢量的组件数相同时，才能计算点积。将A(i,j)作为矩阵A中第i行、第j列的项。例如，A（3,2）是矩阵A中第3行、第2列的项。假定A、B和C是矩阵，且AB=C，则C的项计算如下：C(i,j)=（A的第i行）?（B的第j列）下图显示了矩阵相乘的几个示例。以第二个等式为例，假设等式两边的矩阵分别是a、b、c，1*
4、3的矩阵和3*2的矩阵相乘，得到的结果为1*2的矩阵。其中c[0][0]=a[0][0]*b[0][0]+a[0][1]*b[1][0]+a[0][2]*b[2][0]，c[0][1]=a[0][0]*b[0][1]+a[0][1]*b[1][1]+a[0][2]*b[2][1]。矩阵的加法、乘法，可以用来做坐标转换。我们通常使用3*3(如果不需要旋转，则2*2的矩阵即可)的矩阵来做平面上的各种坐标转换，包括x/y轴的平移、旋转。现在来看一个简单的坐标系转换的例子：假设我们的客户区分辨率是100*100，要在客户
5、区中心点画一个点，这个点的坐标是(x,y)。现在如果我们调整了客户区分辨率为400*300，此时如果还需要保持这个点的相对位置不变，计算他的坐标应该是(x*400/100,y*300/100)。这个计算过程很简单，那么用矩阵操作应该如何来实现呢？我们将这个点视为一个1*2的矩阵，将其乘以一个2*2的矩阵，得出的仍然是一个1*2的矩阵，就是新的坐标了。由于屏幕分辨率在x、y轴分别扩大为原来的4倍和3倍，那么我们只要将点的x、y轴坐标都扩大到原来的4、3倍即可。公式如下： 等式左边的第二个矩阵，就是用来实现坐标转换的
6、矩阵。其中b[0][0]就是x轴的扩大倍数，b[1][1]就是在y轴上的扩大倍数。这里面b[0][1]和b[1][0]永远是0。坐标系的这种转换，叫做线性变换。OK。看完这个例子，是不是觉得用矩阵比直接计算还麻烦？嗯，对于这种简单的情况是这样的。不过别急，继续看坐标系旋转的情况，如果现在要求这个客户区逆时针旋转30度，要保持这个点的相对位置不变，他的新坐标应该是多少呢？普通的计算的公式就不陈述了，这就是个初中几何题目。我们直接来看怎样通过矩阵操作实现。首先看公式：在二维空间中，旋转可以用一个单一的角θ定义。作为约
7、定，正角表示逆时针旋转。关于原点逆时针旋转θ的矩阵是: 也就是说，逆时针旋转30度的新坐标就是：当然，除此之外，坐标系还有平移，但是这个就简单了，只是一个简单的矩阵加法。比如(x,y)向右平移一个单位，用矩阵就是[x,y]+[1,0]就是是(x+1,y)。下图显示了应用于点(2,1)的几个变换： 前图中显示的所有变换都是线性变换。某些其他变换（如平移）不是线性的，不能表示为与2×2矩阵相乘的形式。假定您要从点(2,1)开始，将其旋转90度，在x方向将其平移3个单位，在y方向将其平移4个单位。可通过先使用矩阵乘法再
8、使用矩阵加法来完成此操作。后面跟一平移（与1×2矩阵相加）的线性变换（与2×2矩阵相乘）称为仿射变换，如上图所示。放射变换（先乘后加）可以通过乘以一个3*3的矩阵来实现，若要使其起作用，平面上的点必须存储于具有虚拟第三坐标的1×3矩阵中。通常的方法是使所有的第三坐标等于1。例如，矩阵[211]代表点(2,1)。下图演示了表示为与单个3×3矩阵相乘的仿射变换（旋转90度；在
