高考数学总复习 第6章 第7节 数学归纳法(理)课件 新人教A版.ppt

《高考数学总复习 第6章 第7节 数学归纳法(理)课件 新人教A版.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第七节　数学归纳法(理)了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．一、数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：1．：证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；归纳奠基2．：假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．归纳递推二、数学归纳法的框图表示解析：边数最小的凸多边形是三角形．答案：C答案：C3．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时

2、，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是()A．假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1命题成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立C．假设n＝2k＋1(k∈N*)，证明n＝k＋1命题成立D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立解析：A、B、C中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k＋2为奇数．答案：D5．如图，这是一个正六边形的序列：则第n个图形的边数为________．解析：第(1)图共6条边，第(2)图共11条边，第(3)图共16条边，…，其边数构成等差数列

3、，则第(n)图的边数为an＝6＋(n－1)×5＝5n＋1.答案：5n＋11.用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式问题，关键在于弄清等式两边的构成规律：等式的两边各有多少项，由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项；难点在于寻求等式中n＝k和n＝k＋1时之间的联系．2．用数学归纳法证明与正整数有关的等式时，通常采用的步骤为：(1)找出f(k＋1)与f(k)的递推关系；(2)把归纳假设f(k)＝g(k)代入；(3)作恒等变形把f(k＋1)化为g(k＋1)．【特别提醒】运用数学归纳法需注意以下

4、几点：①n＝n0时，n0的取值；②两个步骤，缺一不可；③证n＝k＋1成立时必须用上归纳假设．用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．【思路点拨】n取的第一个值是2.【特别提醒】用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立得n＝k＋1时成立，主要方法有：①放缩法；②利用基本不等式；③作差比较法等．在

5、几何问题中，常有与n有关的几何证明，其中有交点个数、内角和、将平面分成若干部分等问题．这些问题可用数学归纳法证明，利用数学归纳法证明这些问题时，关键是“找项”，即几何元素从k个变成k＋1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，若分析不出来，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何问题的一大技巧．【思路点拨】由n＝k推证n＝k＋1时，搞清区集域变化了多少个．证明整除性问题的关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项

6、和因式分解等手段，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设获证．求证：(3n＋1)×7n－1(n∈N*)能被9整除．【思路点拨】考虑到该问题与正整数n有关，故可用数学归纳法证明．【自主证明】(1)当n＝1时，(3n＋1)×7n－1＝27，能被9整除．(2)假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时命题成立，即(3k＋1)×7k－1能被9整除，那么当n＝k＋1时：[3(k＋1)＋1]×7k＋1－1＝[(3k＋1)＋3]×(1＋6)7k－1＝(3k＋1)7k－1＋(3k＋1)×6×7k＋21×7k＝[(3k＋1)7k－1]＋

7、3k×6×7k＋(6＋21)×7k.由归纳假设知，以上三项均能被9整除．则由(1)、(2)可知，命题对任意n∈N*都成立．解“归纳—猜想—证明”题的关键环节：(1)准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础．(2)通过观察、分析、比较、联想，猜想出一般结论．(3)用数学归纳法证明．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列．求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论．【思路点拨】根据已知

8、条件求出a2，a3，a4及b2，b3，b4，并猜想出{an}，{bn}的通项公式，然后利用数学归纳法证明．【自主解答】由条件得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1.由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.猜想an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.下面用数学归纳法进行证明：①当n＝1时，由上可得结论成立．②假设当n＝k(k∈N*)时，结论成立，即ak＝k(k＋