高中数学 第二章 2.4 等比数列 第二课时 等比数列的性质及应用课件 新人教A版必修5.ppt

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1、2.4等比数列第二课时等比数列的性质及应用课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第二章数列考点一考点二N0.1课堂强化N0.2课下检测考点三返回[读教材·填要点]1．若{an}是等比数列，则(1)a1>0，q>1或a1<0,00,01时，数列为递减数列；(3)q＝1时，数列为；(4)q<0时，数列为摆动数列．递增数列常数列2．一般地，如果m，n，k，l为正整数，且m＋n＝k＋l，则有.特别地，当m＋n＝2k时，.3．在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，

2、按原来的顺序排列，所得的新数列为．am·an＝ak·alam·an＝a等比数列等比数列[小问题·大思维]1．在等比数列{an}中，如何用am表示an?提示：an＝am·qn－m.2．若数列{an}是一个无穷等比数列，公比为q，将数列{an}的偶数项去掉，剩余各项组成一个新的数列，它还是等比数列吗？它的首项和公比分别是多少？提示：仍然是等比数列，首项为a1，公比为q2.提示：成立．4．若数列{an}是各项均为正数的等比数列，则{lgan}是等差数列吗？公差是多少？[研一题][例1]已知{an}是等比数列且an＞0，a2a4＋2a3a5

3、＋a4a6＝25，求a3＋a5的值．[通一类]1．在等比数列{an}中，a3＋a7＋a11＝28，a2·a7·a12＝512，求q.[研一题][例2]有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且前后两数的和是16，中间两数的和是12.求这四个数．若将“和是16”改为“积是－128”，将“和是12”改为“积为16”，如何求解？由①得a2＝16，∴a＝4或a＝－4.由②得2a2q2－a2q4＝－128.将a2＝16代入整理，得q4－2q2－8＝0.解得q2＝4，∴q＝2或q＝－2.∴所求的四个数为－4,2,8,32或4，－

4、2，－8，－32.[通一类]2．在递增等比数列中，a1a9＝64，a3＋a7＝20.求a11的值．∵{an}是递增等比数列，∴a7＞a3.∴a3＝4，a7＝16.∴16＝4q4.∴q4＝4.∴a11＝a7·q4＝16×4＝64.[研一题][例3]从盛满a(a＞1)升纯酒精的容器里倒出1升然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第n次操作后溶液的浓度是多少？若a＝2时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?[悟一法]本题将实际问题抽象成一个数列问题，解决数列应用题的关键是读懂题意，建立数学模型，弄清问

5、题的哪一部分是数列问题，是哪种数列．在求解过程中应注意首项的确立，时间的推算．不要在运算中出现问题．[通一类]3．始于2007年初的美国次贷危机，至2008年中期，已经演变为全球金融危机．受此影响，国际原油价格从2008年7月每桶最高的147美元开始大幅下跌，9月跌至每桶97美元．你能求出国际原油价格7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时间跌至谷底(即每桶34美元)?解：设每月平均下降的百分比为x，则每月的价格构成了等比数列{an}，记a1＝147(7月份价格)，则8月份价格a2＝a1(1－x)＝147(1－x)

6、，9月份价格a3＝a2(1－x)＝147(1－x)2.∴147(1－x)2＝97，解得x≈18.8%.设an＝34，则34＝147·(1－18.8%)n－1，解得n＝8.即从2008年7月算起第8个月，也就是2009年2月国际原油价格将跌至34美元每桶.已知数列{cn}，其中cn＝2n＋3n，且数列{cn＋1－pcn}为等比数列，求常数p.[解]法一：因为{cn＋1－pcn}是等比数列，所以当n≥2时，有(cn＋1－pcn)2＝(cn＋2－pcn＋1)(cn－pcn－1)，将cn＝2n＋3n代入上式，得[2n＋1＋3n＋1－p(2n

7、＋3n)]2＝[2n＋2＋3n＋2－p(2n＋1＋3n＋1)]·[2n＋3n－p(2n－1＋3n－1)]，法二：由cn＝2n＋3n，得c1＝5，c2＝13，c3＝35，c4＝97.因而数列{cn＋1－pcn}的前三项依次为13－5p,35－13p,97－35p.由题意得：(35－13p)2＝(13－5p)(97－35p)整理得：p2－5p＋6＝0，∴p＝2或p＝3.［点评］法一是利用等比中项，法二是先利用特值求得p的值，然后加以验证说明，其中法二是解决此类问题的常用方法，且可以降低解题错误.