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1、线性代数N阶行列式定理1：任意一个排列经过对换后，其奇偶性改变。推论：奇排列变成自然数顺序排列的对换次数为奇数，偶排列变成自然数顺序排列的对换次数为偶数。定理2：n个自然数（n-1）共有n!个n级排列，其中奇偶排列各占一半。行列式的性质性质1：行列式与它的转置行列式相等。性质2：交换行列式的两行（列），行列式变号。注2：交换i,j两列，记为ri↔ri（ci↔cj）。推论1：如果行列式中有两行（列）的对应元素相同，那么该行列式必为零。性质3：用数k乘行列式的某一行（列），等于用k乘此行列式。注3：第i行（列）乘以k，记
2、为ri×k（ci×k）。推论2：行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。推论3：在一个行列式中，如果有两行（列）元素成比例，则这个行列式必等于零。性质4：如果将行列式的某一行（列）的每个元素都改写成两个数的和，则此行列式可写为两个行列式的和，且这两个行列式分别为所在行（列）对应位置的元素，其它元素不变。注4：上述结果可推广到有限个数和的情形。性质5：将行列式的某一行（列）的所有元素都乘以数k后加到另一个行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变。注5：以数k乘第j行加到第i行上，记作ri+krj
3、；以数k乘第j列加到第i列上，记作ci+kcj。行列式按行（列）展开余子式：Mij代数余子式：Aij=（-1）i+jMij引理：一个n阶行列式D,若其中第i行所有元素除aij外都为0，则该行列式等于aij与它代数余子式的乘积，即D=aijAij定理：行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。推论：行列式某一行（列）的每元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零。k阶行列式：在n阶行列式D中，任意选定k行k列，位于这些行和列交叉处的k²个元素，按原来顺序构成一个k阶行列式M,称为D的一个
4、k阶子式，划去这k行k列，余下的元素按原来的顺序构成一个n-k阶行列式，在其前面冠以符号(-1)的（i1+i2+…+ik+j1+j2+…+jk）次方，称为M的代数余子式，其中i1,i2,…,ik为k阶子式M在D中的各行标，j1,j2,…,jk为M在D中的各列标。（注：行列式的k阶子式与其代数余子式之间有类似行列式按行(列)展开的性质。）定理(拉普拉斯定理):在n阶行列式D中，任意取定k行(列)(1≤k≤n-1)，由这k行(列)组成的所有k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D。克莱姆法则含有n个未知数x1,x
5、2,x3,…,xn的线性方程组称为n元线性方程组。当其右端的常数项b1,b2,…,bn不全为零时，方程组（1）称为非齐次线性方程组，当b1,b2,…,bn全为零时，方程组（1）称为齐次线性方程组，即线性组方程（1）的系数aij构成的行列式称为该方程组的系数行列式D,即定理(克莱姆法则)：若线性方程组(1)的系数行列式D≠0，则线性方程组(1)有唯一解，其解为xj=Dj/D(j=1,2,…,n)其中，行列式Dj(j=1,2,…,n)是把D中的第j列元素a1j,a2j,a3j,…,anj对应的换为方程组的常数项b1,b2
6、,…,bn而其余各列保持不变所得到的行列式。定理1：如果线性方程组(1)的系数行列式D≠0，则线性方程组(1)一定有解，且解是唯一的。定理2：如果线性方程组(1)无解或解不是唯一的，则它的系数行列式必为零。定理3:如果齐次线性方程组(2)的系数行列式D≠0，则齐次线性方程组(2)只有零解。定理4:如果齐次线性方程组(2)有非零解，则它的系数行列式D=0。矩阵特殊矩阵：n阶方阵；行矩阵：只有一行的矩阵称为行矩阵（或行向量）；列矩阵：只有一列的矩阵称为列矩阵（或列向量）；零矩阵：元素全是零的矩阵称为零矩阵，可记作0；对角
7、阵：对角线非零非1，其余元素全为零的n阶方阵称为n阶对角阵；单位阵：对角线元素为1，其余元素全为零的n阶矩阵称为n阶单位阵，记作En；数量矩阵：对角线全为元素a，其余元素全为零的n阶矩阵称为n阶数量矩阵。加减法运算：前提：A、B矩阵行数相等且列数相等，称为同型矩阵。加减法则：对应元素相加减（PS：行列式为对应不同行列相加），且遵循交换律与结合律。-A为矩阵A的负矩阵。数乘：数λ与m×n矩阵的乘积记作λA或Aλ数乘法则：每个元素都乘λ（PS：行列式为某一行或某一列乘以λ），且遵循结合律与分配率。乘法：前提：前面矩阵的列
8、数与后面矩阵的行数相等。（任意行列式均可相乘）。乘法法则：前面矩阵的行与后面矩阵的对应列的对应元素相乘，下标ij行取前面矩阵对应的行，列取后面矩阵对应的列。单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1矩阵的乘法不满足交换率与消去律。（例：矩阵A≠0，B≠0却有A=0，B=0）分块矩阵：分块对角矩阵：除了对角线上的矩阵之外，其余矩阵均为零。分块对角矩阵性
