对微分流形的初步认识.docx

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1、对微分流形的初步认识微分流形，也称为光滑流形，是拓扑学和几何学中一类重要的空间，是带有微分结构的拓扑流形。微分流形是微分几何与微分拓扑的主要研究对象，是三维欧式空间中曲线和曲面概念的推广，可以有更高的维数，而不必有距离和度量的概念。一．微分流形§1.n维欧式空间粗略的说，几何学的发展史就似乎空间概念的发展史.“空间”的重要性在于它是数学延伸发展的平台：随着一种新空间观念的出现与成熟，就近的数学就会在这个空间中展开和发展.微分流形的概念首先是由黎曼提出的，他把个变量看作维空间中动点的坐标.此时，坐标本身不再具有特殊的几何意义，人们关心的是那些能够用坐标表达、然

2、而与坐标系选择无关的量.因此我们可以考虑这样的空间，它没有适用于整个空间的坐标系，而在没一点的邻域内存在局部使用的坐标系，但是我们仍然能够研究在空间中大范围定义的量，即与局部坐标系选择无关的量.微分流形概念的产生和精确化是当代数学的一大成就，微分流形是大范围分析和整体微分几何演出的舞台，同时微分流形的拓扑是重要的研究课题.维欧式空间是维微分流形最简单的例子和模型.微分流形的概念和构造是从欧式空间的概念和有关构造脱胎而出的.因此，了解维欧式空间是十分必要的.定义1.1设V是维向量空间.若在上给定一个对称的，正定的双线性函数：,既满足下列条件：⑴;⑵;⑶;⑷且等

3、号只在时成立.其中，,则称为n维欧氏向量空间.满足上述条件的双线性函数称为欧氏内积，通常记为.定义1.2设是维向量空间.是一个非空集合，中元素称为点.若存在一个映射，它把中的任意一对有序点、映成中的一个向量，且满足下列条件：　⑴.　⑵，存在惟一的点，使得.　⑶，成立恒等式.则称是维仿射空间，且称是与仿射空间伴随的向量空间.定义1.3设是维欧氏向量空间，则以为伴随向量空间的仿射空间称为维欧氏空间,记为.中任意两点、间的距离定义为.；设为维欧氏空间.若在中取定一个单位正交标架之后，也就是在中建立一个直角坐标系侯，便等同于Rn.今后为简便起见，常把维欧氏空间记为R

4、n.§2.微分流形的定义微分流形是现代数学的重要分支，它溶分析、拓扑、几何、代数等多种知识于一体，形成了近代物理学、力学、工程技术、近代社会科学的重要数学基础.近代科技的发展，越来越显示出微分流形的重要性.接下来就介绍一下流形的定义.定义2.1设是一个Hausdorff拓扑空间.若的每一点P都有一个开邻域，使得和维欧氏空间中的一个开子集是同胚的，则称是一个维（拓扑）流形.定义2.2设同胚，其中是中的开集，则称为流形的一个坐标卡.,称为流形的一个局部坐标系.维拓扑流形就是在它的每一点的一个邻域内可以建立维局部坐标系的Hausdorff空间.定义2.3设是一个维

5、拓扑流形，与是它的两个坐标卡，若，都是的，则称与相关；时，对任意相关.流形是一种局部相似于欧氏空间的拓扑空间，如中的球面、环面等，即二维流形的典型例子.流形的特点是它一般只能局部地同胚于欧氏空间的开子集，一般不一定能整体地同胚于欧氏空间.因此流形一般无全局坐标而只有局部坐标，这是它的一个重要特征.定义2.4设是维拓扑流形.假定是坐标卡的一个集合，且满足⑴构成流形的一个开覆盖.⑵属于的任意两个坐标卡都是相关的.⑶是极大的：即若是的一个坐标卡，且与中每个成员都是相关的，则必属于.此时称坐标卡集为流形上的一个微分结构.时，称为上的一个光滑结构；时，称为上的一个解析

6、结构.定义2.5设是个维拓扑流形，若在上指定一个微分结构，则称为一个维微分流形.属于的坐标卡为该微分流形的容许坐标卡.时，称为光滑流形；时，称为解析流形.微分流形的基本思想是要在流形上引入一种局部结构以保能在流形上进行微分运算，从而在流形上建立的分析学.B.Riemann大概是第一个使用“流形”一词的人.他在1854年提交的著名论文“论几何学的基本假设”中，有“流形”（Mannigfaltigkeit）的提法.无疑地，在他脑海中流形的概念是清楚的.他把一组变量看作某个广义空间中的点的坐标，他们允许作变换.因此坐标本身不再具有特殊的几何含义.§3光滑映射定义3

7、.1设是定义在光滑流形上的连续函数.若在点,的一个容许坐标卡，使得,且是在点处光滑的函数，则称函数在点处是光滑的.若在每一点都是光滑的，则称为流形上的光滑函数.我们把定义在点的邻域内且在点处光滑的函数的集合记作.定义3.2设，分别是,维光滑流形，是连续映射.设，如果存在在点处的容许坐标卡及在点处的容许坐标卡，使得是在点处的光滑映射，则称映射在点处是光滑的.若映射在上是处处光滑的，则称是从到的光滑映射.定义3.3设，是两个维光滑流形，是同胚，若和它的逆映射都是光滑映射，则称为光滑同胚.定义3.4设是流形上的连续函数，所谓的支撑集是指取非零值的点的集合的闭包，记

8、作Supp,即Supp=.定义3.5设为的子集的一个