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1、§5.2二次曲线的渐近方向、中心、渐近线教学目标：⑴理解二次曲线的渐近方向、中心、渐近线概念；⑵掌握二次曲线的渐近方向、中心、渐近线的求法；⑶能根据渐近方向和中心对二次曲线进行分类。教学重点：二次曲线的渐近方向、中心、渐近线概念及求法。教学难点：根据渐近方向和中心对二次曲线进行分类。§5.2二次曲线的渐近方向、中心、渐近线1.二次曲线的渐近方向定义5.2.1满足条件Φ(X,Y)=0的方向X:Y叫做二次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向。事实上，为渐近方向事实上，为渐近方向可见，对椭圆，∵对双曲线∴它有二不同实渐近方向；∴它
2、有二相同的实渐近方向；，∵，∵∴它没有实渐近方向；对抛物线对双曲线∴它也有二不同实渐近方向；，∵定义5.2.2没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的,有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物线型的,有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的。即:⑴椭圆型:I2>0；⑵抛物型:I2＝0；⑶双曲型:I2<02.二次曲线的中心与渐近线定义5.2.3如果点C是二次曲线的通过它的所有弦的中点(C是二次曲线的对称中心)，那么点C叫做二次曲线的中心。定理5.2.1点C(x0,y0)是二次曲线(1)的中心，其充要条件是：二次曲线(1)的的中心坐标由下
3、方程组决定：如果I2≠0，则(5.2－2)有唯一解，即为唯一中心坐标如果I2＝0，分两种情况：定义5.2.4有唯一中心的二次曲线叫中心二次曲线,没有中心的二次曲线叫无心二次曲线,有一条中心直线的二次曲线叫线心二次曲线,无心二次曲线和线心二次曲线统称为非中心二次曲线。二次曲线分类：渐近线求法：求出中心，再求出渐近方向即可得到渐近线的参数方程。定义5.2.5通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的直线叫做二次曲线的渐近线。可见：椭圆型二次曲线没有实渐近线;双曲型二次曲线有二不同实渐近线;而对抛物型二次曲线,若其为无心的,则其
4、没有渐近线,若其为线性的,则由于其渐近方向为，而这正是中心直线的方向，∴它的渐近线即为中心直线。定理5.2.2二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有交点，或者整条直线在这二次曲线上成为二次曲线的组成部分。则l与曲线不相交，§5.3二次曲线的直径1.二次曲线的直径在§5.1中我们已经讨论了直线与二次曲线相交的各种情况，当直线平行于二次曲线的某一非渐近方向时，这条直线与二次曲线总交于两点(两个不同实的，两重合实的或一对共轭虚的),这两点决定了二次曲线的一条弦.现在我们来研究二次曲线上一族平行弦的中点轨迹.求二次曲线的一族平行弦的
5、中点轨迹.即，解而是平行于方向的弦的中点，设是二次曲线的一个非渐近方向，那么过的弦的方程为它与二次曲线的两交点(即弦的两端点)由下列二次方程(1)从而有(5.3-1)两根与所决定,因为为弦的中点，所以有这就是说平行于方向的弦的中点的坐标满足方程即(5.3-2)或上列方程的一次项系数不能全为零，这时因为若则一条直线.(5.3-3)所以(5.3-3)或(5.3-1)是一个二元一次方程，它是反过来，这与是非渐近方向的假设矛盾，(5.3-1)定理5.3.1二次曲线的一族平行弦的中点轨迹是一条直线.如果点满足方程(5.3-1)(5.
6、3-1)那么方程(1)中将有绝对值相等而符号相反的两个根，(1)点就是具有方向的弦的中点，因此方程(5.3-1)为一族平行于某一非渐近方向的弦的中点轨迹方程.得到了结论－－定理！下面引进二次曲线直径的概念定义5.3.1二次曲线的平行弦中点的轨迹叫做这个二次曲线的直径，它所对应的平行弦，叫做共轭于这条直径的共轭弦；而直径也叫做共轭于平行弦方向的直径.有多少条直径?（5.3-4）推论如果二次曲线的一族平行弦的方向为，那么共轭于这族平行弦的直径方程是中心与非中心二次曲线的直径1.中心二次曲线中心满足:(2)(3)直径方程:所以,
7、直径过中心.所有直径都过中心1.非中心二次曲线非中心二次曲线满足(2)(3)又分两种情形或无心曲线：直径平行渐近方向因直径方程:方向矢量容易验证是渐近方向;因为此时：线心曲线：直径就是其中心直线可以化为因为直径方程或定理5.3.2中心二次曲线的直径通过曲线中心，无心二次曲线的直径平行于曲线的渐近方向,线心二次曲线的直径只有一条,就是曲线的中心直线.因此当，即二次曲线为中心曲线时,它的全部直径属于一个中心直线束，这个直线束的中心就是二次曲线的中心；当，即二次曲线为无心曲线时，直径属于一个平行线束；例1求椭圆或双曲线 的直径.
8、解(5.3-1)显然，直径通过曲线的中心根据(5.3-1),共轭于非渐近方向的直径方程是例2解求抛物线的直径.所以共轭于非渐近方向的直径为即所以抛物线的直径平行于它的渐近方向(5.3-1)解直径方程为即例3求二次曲线的共轭于非渐近方向的直径.因为已知曲线的渐近方向为所以对于非渐近方向一定有2.共轭方向与
