数学物理方程课程教与学.doc

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1、数学物理方程课程教与学一．课程定位本课程定位：为非数学系学生介绍求解来自物理等自然学科的偏微分方程定解问题的方法，它处于数学和物理等学科交叉的交叉点上；它的作用是承上启下，一方面，它综合利用前期数学课程（微积分、线性代数，以及复变函数等）的概念、思想和方法，求解经典物理等自然学科中的典型问题；另一方面，它为后期的数学课程（数值计算等）提供理论和解析方法的支持，也为后期物理课程（理论力学和量子力学等理论物理课程）提供数学思想和方法。二．课程核心内容第一章偏微分方程定解问题：定解问题及其适定性；叠加原理和齐次化原理；一阶偏微分方程的

2、求解；波动方程的行波解；二阶线性偏微分方程的分类和标准式。第二章分离变量法：典型例子；一般格式，固有值问题；非齐次问题。第三章特殊函数及其应用：正交曲线坐标系下的变量分离；常微分方程的幂级数解法；勒让德函数的性质及其应用；贝塞尔函数的性质及其应用。第四章积分变换法：傅里叶变换法；拉普拉斯变换法，一般积分变换简介。第五章基本解方法：δ函数和广义函数的性质和运算；椭圆方程的基本解；椭圆边值问题的格林函数法；初值问题的基本解方法。第六章微分方程的变分方法：泛函和泛函的极值；泛函的变分和欧拉方程；变分问题的直接法与微分方程的变分法；泛函

3、的条件极值（约束变分）。一．课程内容间的联系第一章偏微分方程定解问题，总领各章，引入本课程的基本概念，提出本课程的核心问题；对于一阶线性或拟线性偏微分方程给出通解法（首次积分法）和特征线法；利用行波法求解全空间上波动方程的初值问题；利用自变量变换，将二阶（二元）线性偏微分方程化简、分类，得出各类方程的标准形式，以说明本课程求解的是三类方程，而不仅仅是三个方程；最后，对线性的定解问题提出叠加原理，这个原理将是后续各种方法的灵魂所在；齐次化原理也是有叠加原理得到的；这两条原理将贯穿本课程学习的始终，虽然，对不同的方程和不同的边界条件

4、，其表现形式会有所不同，但是自觉地运用这两个原理将有助于理解本课程纷繁复杂的求解方法。第二、三章分离变量法和特殊函数及其应用，本质上是一体的，首先从具体定解问题入手，导出分离变量法求解的过程和步骤；进而总结出分离变量法的一般格式，提出分离变量法的关键步骤——固有值问题及其施图姆-刘维尔定理；结合齐次化原理，利用分离变量法可以求一般的线性方程在规则有界求解区域上的各种定解问题。（很有成就感哦，找到一种适用范围比较广泛的求解方法，急于应用它打到一切，手痒了……。等等，你会在不规则区域上求解吗？吐血！）接下来，针对不同的有界规则区域（

5、长方体、柱状、球状等），应用分离变量法求解定解问题，进而在不同的坐标系下导出不同的固有值问题，对这些固有值问题的求解又衍生出不同的特殊函数。为了将一般函数按照由特殊函数表达的固有函数系展开，需要深入地学习特殊函数的性质，这就是第三章特殊函数及其应用的核心内容。虽然，不同特殊函数的表达形式不同，但是它们具有类似的性质，故应对它们作类比式学习，可以说它们是兄弟一家的。（此处，还是要应用简介的思想统领各个特殊函数，总结共性，理解个性，既要掌握全局，又能动手计算推导每个公式。）第四章积分变换法，主要用于求解全空间或半空间上的定解问题，是

6、对第二、三章分离变量法的补充，也是分离变量法在无界区域上的应用。相应于有界区域上固有值问题的固有值是离散的，无界区域上的固有值是连续变化的。对连续变化参数的叠加原理为积分形式，这也是积分变化法的本质所在。傅里叶变换和拉普拉斯变换仅是两个特殊而应用广泛的积分变换。类似于第三章特殊函数的不同形式，在不同坐标系下推导积分变换法将导出一般积分变换的不同形式。（这又一次验证思想是简介和普适的。）第五章基本解方法是叠加原理应用的又一例证，其核心思想是将连续的源看成点源的叠加，而点源的数学表达就是Dirac的δ函数。因此，为解决一般带有连续源

7、的问题，我们首先解决带有点源的问题，求出的解称为基本解；然后，利用基本解表达出一般问题的解，通常是用积分形式。第六章微分方程的变分法，是微分方程的现代理论，它不仅可以用来导出方程，也可以用来解决一些在微分方程古典理论框架下难以解决的重要理论问题，如一般区域上固有值问题的可解性，即固有值和固有函数的存在性；固有函数系的完备性等等。它更是现代数学物理的表达语言，许多现代数学物理理论正是在这种语言体系下得到同意的，进而升华为一种普适性的原则和原理，学习和理解，进而掌握它，对学习《理论力学》等课程大有帮助。一．学习方法本课程学习过程中一

8、定要贯彻“思想统领方法”：思想具有简洁和普适性，方法会有不同表现形式，具有易变性。但是，“万变不离其宗”，思想就是方法的“宗”；思想和方法两手抓，两手都要硬：没有方法的实践，思想就变成空想；没有思想指导的方法，是没有头的苍蝇，抓瞎！及时归纳整理总结：及时归纳、整