机构学和机器人学chap3-运动学中的矩阵法ppt课件.ppt

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1、第三章运动学中的矩阵法描述刚体转动有三种方法:1）用绕右手直角坐标系的一组转动来描述。刚体转动可以几只旋转矩阵来表示，这几只旋转矩阵都是以绕x、y、z轴的转动为基础而导出的。我们称绕x、y、z轴转动的旋转矩阵为基本旋转矩阵。2）用绕空间轴的转动来描述。3）用欧拉角描述。§3-1刚体的旋转矩阵一、三只基本旋转矩阵1、绕z轴的旋转矩阵，若固连刚体上的定长矢量绕z轴旋转α角，旋转前设：旋转后：由图：（3-1）写成矩阵形式：简写成：则：称为绕z轴的旋转矩阵。（3-2）（3-3）对于平面：2、轴旋转γ角的矩阵表示旋转矩阵:（3-4）

2、（3-5）（3-6）3、旋转β角的矩阵表示式中：——为三只基本旋转矩阵，对于该矩阵有许多表示方法，都有不同但实质一样，我们常见表示为旋转矩阵：（3-7）（3-8）二、绕直角坐标轴的一组旋转随刚体旋转，旋转次序为：注意：旋转次序对刚体最终位置有影响，（即旋转次序不可互换）。若定长矢量先绕z转α→绕y轴转β角→绕x轴转γ角达到终点，则：其余类推。（3-9）（3-10）（3-11）x—y平面内的矩形体，经有序列三个900的旋转后的刚体位置如图，旋转次序有两种：∴式3—11无普遍价值，具体问题需进行分析，再构成完整的旋转矩阵。与刚

3、体固联方法：将是三个方向余弦。以上旋转矩阵仅指绕x、y、z坐标轴的旋转矩阵，现要用该矩阵来描述相对于一个固定坐标系中的为旋转轴的单位矢量，分量轴旋转φ角。轴和z轴平行，这一暂时位置轴转回原先的位置，这种方法三、绕——第二种表示旋转的方法轴的旋转矩阵设然后使刚体绕最后再将可用五次转动来实现。→转动刚体使（即z轴）旋转φ角，（3-12）即为绕任意轴旋转φ角，前后位置的关系式。（3-13）(3-12)中五只矩阵连乘即得的表达式。由图：1∵是单位矢量代入（3—12）展开可得：式中：（3-14）（3-15）四、欧拉旋转矩阵(z0)轴

4、转角→绕N即x1轴转θ角→绕z转过——描述刚体旋转的第三种方法是用欧拉角表示。首先绕（进动）（3-16）（章动）（3-17）(z0)(x1)（自转）（3-18）其中：（3-19）由于欧拉角是相对位移角，所以还可自转即：欧拉公式通常用于定点运动机构的分析，例如蛇螺仪。三只基本旋转矩阵及三只旋转矩阵为正交矩阵，其逆矩阵为其的转置矩阵。§3-2刚体的位移矩阵刚体位置E用表示，由位置1→位置2可看作矢量到，其总位移可以看作的平移和绕基点角位移之和。到转到由一、平面位移矩阵？由（3—3）可写成：而∵∴知：（3-20）写成分量的形式得

5、：（3—21）式中α为刚体相对固定坐标系x-y的转角。和最终位置及转角是同时给定，点的起始位置适合计算Q点新位置坐标的形式，由式（3—20）求解得：通常，起始位置因此当为已知，可将(3—20)改成重新整理：（3—22）将其写成3×3矩阵方程：写成简单形式：或：则3×3矩阵称为平面位移矩阵。（3—23）（3—24）（3—25）二、空间位移矩阵刚体空间位移矩阵，类似以上（3-20）、（3-22）、（3-25）方式的描述，图仍然适用于空间机构，只要用三维旋转矩阵代替即可。为了方便，现用于是相应表达式（3-22）成：（3-20）成

6、：（3-24）成：（3-26）（3-27）（3-28）（3—25）变成：是一个4×4的空间位移矩阵。（3—29）轴移动，同时又以角位移——刚体位移基本矩阵方程。上，而刚体沿着该轴作螺旋运动，沿轴旋转。三、螺旋位移矩阵式（3—26）有时往往用一个特殊点P作为参考点，它的两个位置如图所示，刚体以线位移则（3—26）式变为：均在一个固定轴线（3—30）按照查理定理，刚体的任何空间位移都可认为是对某同一轴线的移动和转动，亦即绕某螺旋线S的一个螺旋位移。用（3—28）形式来写，则上式成为：可简写为：式中称为有限螺旋位移矩阵。为4×4

7、矩阵。（3—31）（3—32）解：根据参考点p运动前后的位置及刚体的转角α，构成位移矩阵例1已知一个作平面运动的刚体，其运动可用参考点p从位置到位置的位移以及刚体的转角来描述，已知刚体上任一点Q0在第一个位置，求Q第二个位置的坐标时其坐标四、位移矩阵示例再由式（3-25）可得:例2求例1中刚体位置1到位置2的有限旋转中心?当一个作平面运动的刚体，从位置1到位置2时，该平面上总存在一个位置不变的点，此平面可以看作是绕固定平面上的这一点作旋转。该点称为有限转动中心。注意，这一点和速度为零的点（速度瞬心）概念不能混同。设旋转中心

8、因为描述刚体运动位移矩阵无论其所用的参考点是那一点，作得的位移矩阵元素的对应值必定是相同的。因此作为参考点，写出解析形式的位移矩阵：由上例数值矩阵第三列各对应元素相等得：再用代入得：例3由数值位移矩阵元素求螺旋运动参数?螺旋运动是用来描述刚体空间有限位移的最简单运动。因此，用螺旋位移矩阵可方便地描述空间