最优控制理论与应用ppt课件.ppt

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1、最优控制理论与应用OptimalControlTheoryandApplication主讲：xxx主要内容1最优控制问题2求解最优控制的变分方法3最大值原理与应用5动态规划4线性二次型性能指标的最优控制6对策论与最大最小控制最优控制理论现代控制理论的重要组成部分；20世纪50年代发展形成系统的理论；（动态规划、最大值原理）中心问题给定一个控制系统，选择控制规律，使系统在某种意义上是最优的；应用在各个领域中得到应用，效益显著。前言例1.1飞船软着陆问题：飞船软着陆：在月球表面着陆时速度必须为零，由发动机的推

2、力变化来完成。1最优控制问题1.1一个实例月球问题：如何选择推力，使燃料消耗最少。高度垂直速度飞船的质量月球重力加速度常数飞船自身质量发动机推力燃料的质量F初始条件：登月舱初始质量初始高度初始速度初始时间，末端时间常数模型抽象边界条件初始条件末端条件控制约束：（发动机最大推力）性能指标：选择使燃料最省1.2问题描述(1)状态方程一般形式为为n维状态向量为r维控制向量为n维向量函数给定控制规律满足一定条件时，方程有唯一解(2)容许控制：,有时控制域可为超方体(3)目标集q维向量函数固定端问题自由端问题(4)

3、性能指标对状态、控制以及终点状态的要求，复合型性能指标。积分型性能指标，表示对整个状态和控制过程的要求。终点型指标，表示仅对终点状态的要求。2求解最优控制的变分方法（回顾：函数极值）回顾:静态最优化问题的解---函数极值(一)一元函数的极值：(二)多元函数的极值三、具有等式约束条件极值的解法－－拉格朗日乘子法将具有等式约束条件的极值问题化为约束条件的极值问题来求解（一）拉格朗日函数（二）拉格朗日函数H极值的解法2求解最优控制的变分方法2.1泛函与变分法基础平面上两点连线的长度问题其弧长为行程问题一般来说，

4、曲线不同，弧长就不同，即弧长依赖于曲线，记为。，称为泛函。，称泛函的宗量。泛函与函数的几何解释宗量的变分线性泛函泛函对宗量是线性的连续泛函：宗量的变分趋于无穷小时，泛函的变分也趋于无穷小.泛函的变分：Jd=泛函的增量此时,称泛函是可微的。是的高阶无穷小量，则若定理2.1泛函的变分为证明例2.1求泛函的变分定理2.2若泛函在x有极值，则必有上述方法与结论对于包含多变量函数的泛数同样适用。2.2欧拉方程泛函有二阶连续偏导数两端固定变分分部积分例2.2求平面上两固定点间连线最短的曲线，直线2.3横截条件左端固定

5、右端沿曲线变动终点值与终点的变分横截条件例2.3从一固定点到已知曲线有最小长度的曲线所求的极值曲线与约束曲线相正交。欧拉方程积分求解计算横截条件直线2.4含有多个未知函数泛函的极值泛函欧拉方程边界值横截条件2.5条件极值（有约束）状态方程泛函引进乘子构造新的函数和泛函欧拉方程约束方程例2.4泛函约束方程边界条件试求使泛函有极值。解：化为标准形式把问题化为标准形式，令例2.6约束方程可定为边界条件为引进乘子构造函数欧拉方程解出其中，和为任意常数。代入约束方程，并求解可得将利用边界条件，可得：于是，极值曲线和

6、为：2.6.1自由端问题约束方程新的泛函有令哈米顿函数2.6最优控制问题的变分解法变分则伴随方程控制方程横截条件例2.5考虑状态方程和初始条件为的简单一阶系统，其指标泛函为，使其中，，给定，试求最优控制有极小值。伴随方程边界条件控制方程解:引进伴随变量，构造哈米顿函数则最优控制为得代入状态方程求解得令，则有2.6.2固定端问题，性能指标边界条件指标泛函哈米顿函数伴随方程，例2.6重解例2.4其解为约束方程引入拉格朗日乘子向量，得新的泛函2.6.3终端时刻自由，终端状态受限问题终端约束性能指标有令H函数而于

7、是于是，，取极值的必要条件得由问题描述系统状态方程性能指标t0,tf固定,自由，u可以有约束，也可无约束。3最小值原理3.1古典变分法的局限性u(t)受限的例子矛盾!!例3.1伴随方程极值必要条件3.2最小值原理且定理3.1(最小值原理)设为容许控制，为对应的积分轨线，为使为最优控制，为最优轨线，必存在一向量函数，使得和满足正则方程最小值原理只是最优控制所满足的必要条件。但对于线性系统，最小值原理也是使泛函取最小值得充分条件。例3.2重解例3.1，哈密顿函数伴随方程由极值必要条件，知，又于是有，协态变量与

8、控制变量的关系图,，例3.3性能指标泛函哈密顿函数伴随方程，上有协态变量与控制变量的关系图整个最优轨线例3.4把系统状态在终点时刻转移到性能指标泛函终点时刻是不固定的哈米顿函数伴随方程，，H是u的二次抛物线函数，u在上一定使H有最小值，可能在内部，也可能在边界上。最优控制可能且只能取三个值此二者都不能使状态变量同时满足初始条件和终点条件，，最优控制最优轨线最优性能指标例3.5使系统以最短时间从给定初态转移到零态哈米顿函数伴随方