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《高三数学教案：第10讲参数取值问题的题型与方法.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高三数学第二轮复习教案第10讲参数取值问题的题型与方法（4课时）求参数的取值范围的问题，在中学数学里比比皆是，这一讲，我们分四个方面来探讨。一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。例1．已知当xR时，不等式a+cos2x<54sinx+5a4恒成立，求实数a的取值范围。分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（xR），另一变量a的范围即为所求，故可考虑
2、将a及x分离。解：原不等式即：4sinx+cos2x<5a4a+5要使上式恒成立，只需5a4a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题。f(x)=4sinx+cos2x=2sin2x+4sinx+1=2(sinx1)2+33,∴5a4a+5>3即5a4>a+2a205a40a20425a4(a2)5a40上式等价于或，解得5a<8.说明：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=12sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式
3、转化成关于t的二次函数类型。另解：a+cos2x<54sinx+5a4即5a4a+12sin2x<54sinx+,令sinx=t,则t[1,1],整理得2t24t+4a+5a4>0,(t[1,1])恒成立。设f(t)=2t24t+4a+5a4则二次函数的对称轴为t=1,f(x)在[1，1]内单调递减。5a4只需f(1)>0,即>a2.(下同)例2．已知函数f(x)在定义域（，1]上是减函数，问是否存在实数k，使不等式f(ksinx)f(k2sin2x)对一切实数x恒成立？并说明理由。分析：由单调性与定义
4、域，原不等式等价于ksinx≤k2sin2x≤1对于任意x∈R恒成立，这又等价于第1页共17页22k1sinx(1)2112kk(sinx)(2)42对于任意x∈R恒成立。不等式（1）对任意x∈R恒成立的充要条件是k2≤(1+sin2x)min=1,即1≤k≤1----------(3)119不等式（2）对任意x∈R恒成立的充要条件是k2k+4≥[(sinx2)2]max=4,即k≤1或k≥2,-----------(4)由（3）、（4）求交集，得k=1,故存在k=1适合题设条件。说明：抽象函数与不等式
5、的综合题常需要利用单调性脱掉函数记号。22xyAP1例3．设直线l过点P（0，3），和椭圆94顺次交于A、B两点，试求PB的取值范围.APxA分析：本题中，绝大多数同学不难得到：PB=xB，但从此后却一筹莫展,问题的根源在于对题目的整体把握不够.事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.APxA思路1:从第一条想法入手，PB=xB已经是一个关系式，但由于有两个变量xA,xB，同时
6、这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB的斜率k.问题就转化为如何将xA,xB转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.把直线l的方程y=kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程求根公式xA=f（k），xB=g（k）AP/PB=—（xA/xB）得到所求量关于k的函数关系式由判别式得出k的取值范围所求量的取值范围AP1解1：当直线l垂直于x轴时，可求得PB5；第2页共17页当l与x轴不垂直时，设Ax1,y
7、1,B(x2，y2)，直线l的方程为：ykx3，代入椭圆方22程，消去y得9k4x54kx450，227k69k5x1,22.解之得9k4因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑k0的情形.2227k69k527k69k5x12x22当k0时，9k4，9k4，182APx19k29k518k119295222所以PBx2=9k29k5=9k29k5=k.2522k(54k)1809k40由,解得9，18111929552所以k，AP11综上PB5.思路2:如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑
8、到：判别式往往是产生不等的根源.由判别式值的非负性可以很快确定k的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k联系起来.一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于APx1PBx2不是关于x1,x2的对称关系式.原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于x1,x2的对称关系式.把直线l的方程y=kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程韦达定理xA+xB=f（k），xAxB=g（k）A
