泛函分析题目集.doc

《泛函分析题目集.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、泛函分析复习题一．选择题：1.设是希尔伯特空间H上的一组规范正交系，则下列论断未必正确的是()A.线性无关；B.对任何的，都有；C.任意两组数，都有；D.，。2.下列关于空间（且）的论述不正确的是（）A.空间是一个赋范线性空间；B.空间是完备的；C.空间是距离空间；D.空间是希尔伯特空间。3.下列关于空间的论述不正确的是（）A.空间是一个赋范线性空间；B.空间不一定完备的；C.空间是内积空间；D.空间是可分的。4.设为一个实赋范线性空间，为他上面的范数，则下面不正确的是（）A.对任何，都有，B.对任何，都有，C.对任何，，都有，D.对任何，，都

2、有。5.设为一个距离空间，下面不正确的是（）A.和空集都是开集；B.任意多个开集的并还是开集；C.任意多个开集的交也是开集；D.有限多个开集的交也是开集。6.设为一个距离空间，下面不正确的是（）A.和空集都是闭集；B.任意多个闭集的并还是闭集；C.任意多个闭集的交也是闭集；D.有限多个闭集的并也是闭集。7.下面论述正确的是（）A.紧集不一定是有界的。B.紧集的子集一定是紧集。C.任一距离空间中的紧集本身是一个完备的距离空间。D.连续映射有可能将紧集映成非紧集。8.下面为不可分距离空间的是（）A．B.()C.D.9.设为实数域，，那么下面正确的是

3、（）A.B.C.D.与之间没有相互包含关系。10.设为有界闭区间，，那么下面正确的是（）A.B.C.D.与之间没有相互包含关系。二．判断题：1.任何紧集都是有界的。（）2.紧集的子集还是紧集。（）3.希尔伯特空间不一定是巴拿赫空间。（）4.实的可分希尔伯特空间一定与实的空间同构。（）5.可分希尔伯特空间中的规范正交系中向量最多可数个。（）6.设为实数域上的闭区间，那么在（）中稠密。（）7.设为实数域上的闭区间，为区间上的所有多项式函数的集合，那么在（）中不稠密。（）8.设为实数域上的闭区间，为区间上的所有多项式函数的集合，那么在中稠密。（）9.

4、同一个线性空间可以赋予不同的范数，但是这些不同的范数一定是等价的。（）10.可以赋予不同的范数，但是这些不同的范数一定是等价的。（）三．概念题：1.什么是距离空间？举两个距离空间的例子。2.什么是赋范线性空间和巴拿赫空间？举两个巴拿赫空间的例子。3.什么是距离空间中的准紧集和紧集？4.什么是内积空间和希尔伯特空间？举两个希尔伯特空间的例子。5.内积空间的规范正交系的定义什么？6.写出（）空间中范数的定义。7.什么是赫尔德不等式？8.什么是距离空间的可分性？四．计算或证明题：1.设是一个希尔伯特空间，为的一个子集。证明是的一个闭子空间。（下册P9

5、8）2.设，证明的傅里叶变换是有界连续函数。（上册P251）3.设为一个距离空间。试证：（1）若中点列收敛于，则任何子列也收敛于。（2）若中点列为一个Cauchy列，并且存在一个子列收敛，极限为，则也收敛，极限也为。（下册P12）4.设为一个距离空间，为任一给定的点，则是到的连续映射。（下册P20）5.设为一个希尔伯特空间，其上的内积为。试证：对于，是关于，的连续函数。（下册P89）6.试在上定义一个范数（给出证明），使其成为一个巴拿赫空间（给出证明）。（下册P75，P77）7.设为一个希尔伯特空间，，证明：的充分必要条件是对任何的数，有。（下

6、册P123习题23）8.设，，为满足的三个正数。证明：对任何可测函数，，有。（上册P269，15题）9.计算函数的傅里叶变换。（上册P250）10.举一个不可分巴拿赫空间的例子？并证明它为什么不可分。（下册P18，例5，或下册P120，习题5）11.证明内积空间中的任何规范正交系都是线性无关的。（下册P123，28题）12.设空间中的范数为（）。证明此范数下不能导出一个内积。（下册P97，例5）13.设为一个赋范线性空间，其上的范数为，证明以下命题：（1）范数是的连续函数；（2）设，（）与都是中的元素，且，，那么；（3）设数列，（）及都是中的元

7、素，且，那么.（下册P73，性质(i)(ii)(iii)）14.设按照距离为距离空间，非空。令（）.证明是上的连续泛函。（下册P63，习题4）15.设按照距离为距离空间，为中的收敛点列，证明：（1）的极限唯一；（2）对任意的，数列有界。（下册P11，定理1.1）