复变函数与积分变换第7章Fourier变换 ppt课件.ppt

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1、第7章Fourier变换所谓积分变换（Fourier变换、Laplace变换等），就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换，一般是含参积分其中K(t,α)是一个确定的二元函数，称为积分变换的核。f(t)称为（像）原函数，F(α)称为f(t)的像函数。7.1Fourier积分在微积分中已学过Fourier级数，若fT(t)是以T为周期的周期函数，在上满足Dirichlet条件，则fT(t)可展成Fourier级数在fT(t)的连续点t处有利用Euler公式可将Fourier级数的三角形式化为复指数形式其中将式(7

2、.3)代入式(7.2)，得到如果f(t)是定义在(－∞,+∞)上的非周期函数，作周期为T的函数fT(t)：它在上等于f(t)而在之外按周期T进行延拓，可知T越大，fT(t)与f(t)相等的范围也越大，即有记，则当T→∞时,有Δωn→0，由式(7.5)、式(7.4)知即式(7.6)称为f(t)的Fourier积分公式。定理7.1(Fourier积分定理)若f(t)在区间(－∞,+∞)上有定义且①f(t)在任何有限区间上满足Dirichlet条件；②f(t)在区间(－∞,+∞)上绝对可积，即则这个定理的证明要用到较多

3、的基础理论，这里从略。7.2Fourier变换7.2.1Fourier变换的概念定义7.1设函数f(t)满足Fourier积分定理的条件，记称函数F(ω)为f(t)的Fourier变换，记为F(ω)=F［f(t)］，由式（7.7）知，在f(t)的连续点处有称函数f(t)为F(ω)的Fourier逆变换，记为f(t)=F－1［F(ω)］。F(ω)也称为f(t)的Fourier变换的像函数，f(t)称为F(ω)的像原函数，因此，像函数f(t)与像原函数F(ω)构成了一个Fourier变换对，即f(t)与F(ω)可通过相应的积分相互表示。顺便

4、指出，Fourier变换及其逆变换的定义可采用不同的形式，如在实际应用中，可根据具体问题选用，本书采用式（7.8）和式（7.9）定义的形式。例7.1求矩形脉冲函数的Fourier变换及其积分表达式.解由式(7.8)知f(t)的Fourier变换为由式(7.9)知f(t)的积分表达式为由此得到一个含参量广义积分的结果：特别地，当T=1,t=0时,有，这是微积分中已得的Dirichlet积分。例7.2求指数衰减函数的Fourier变换及其积分表达式。解由定义知f(t)的Fourier变换为据式(7.1

5、0)并注意利用奇偶函数的积分性质，知f(t)的积分表达式为由此我们得到一个含参量广义积分的结果：经常用到Fourier正弦和余弦变换。当f(t)是奇函数时，利用欧拉公式及积分的性质，式(7.9)变为且F(－ω)=－F(ω)，从而式(7.10)变为将式(7.12)代入式(7.13)有根据式(7.14)我们得定义7.2。定义7.2若函数f(t)在(0,+∞)有定义，则f(t)的Fourier正弦变换为其反演公式为同理可定义Fourier余弦变换为其反演公式为7.2.2δ函数及其Fourier变换(1)δ函数的定义由

6、Fourier变换的定义可知，f(t)要在(－∞,+∞)上绝对可积，才存在Fourier变换，这样的条件很强，使许多常见的函数如1,t,sint等都不能进行Fourier变换。例7.3设某一电路中原来的电流为0，某一瞬时（设t=0时）进入一单位电量的脉冲，求电路上的电流i(t).例7.4设x轴表示一根弦，质量分布函数为，求线密度函数ρ(x).解任取x∈(－∞,+∞)，当x≠0且δ>0充分小时，(x－δ,x+δ)上分布的质量mδ(x)=0，故x≠0处的密度当x=0时，(x－δ,x+δ)=(－δ,δ)上分布的质量mδ(0)=1，故x=0处的密

7、度.定义7.3在区间(－∞,+∞)内具有如下性质的函数称为δ函数.特别当t0=0时，式(7.16)即可表示例式(7.3)，式(7.4)中的电流函数或密度函数.由上可见，δ函数不是一个普通函数，δ函数在整个x轴上除t=t0外处处为0，它的积分值却不为0.δ函数在物理学中具有重要作用，它最先是由狄拉克在量子力学中引入的，所以也叫狄拉克(Dirac)函数，或单位脉冲函数.定义7.4对于任何一个无穷次可微函数f(t)，如果满足δε(t－t0)也可取成其他函数序列.(2)δ函数的性质性质1对于任何一个无穷次可微函数f(t)，有当t0=0时，

8、即为证利用定义7.4及积分中值定理，我们有性质1也称为δ函数的筛选性，即对任何一个无穷次可微函数f(t)都对应着一个确定的数