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1、第三章多维随机变量及其分布关键词：二维随机变量分布函数分布律概率密度边缘分布函数边缘分布律边缘概率密度条件分布函数条件分布律条件概率密度随机变量的独立性Z=X+Y的概率密度M=max(X,Y)的概率密度N=min(X,Y)的概率密度1§1二维随机变量问题的提出例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身高H的分布或仅研究体重W的分布是不够的。需要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一样本空间的两个随机变量。例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而它们是定义在同一样本空间的
2、两个随机变量。2定义：设E是一个随机试验，样本空间S={e}；设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成的向量(X,Y)叫做二维随机向量或二维随机变量。0Se定义：设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y，二元函数称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。3分布函数的性质x1x2(x1,y)(x2,y)yy2xy1(x,y1)(x,y2)4x2y1x1y25二维离散型随机变量定义：若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不同值是有限对或可列无限对，则称(X,Y)是离散型随机变量。y1y2…yj…XYp11…p12p1j…p21…p22p2
3、j…pi1…pi2pij………………………离散型随机变量的联合概率分布：为二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布。可以用如右表格表示：6分布律的性质例1：设随机变量X在1、2、3、4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值，试求(X,Y)的联合概率分布。YX123440001¼⅛20⅛300解：(X=i,Y=j)的取值情况为：i=1,2,3,4；j取不大于i的正整数。即(X,Y)的联合概率分布为：78二维连续型随机变量910例3：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度：1112例4：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度(1)
4、求常数k；(2)求概率解：113§2边缘分布二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数其中X和Y都是随机变量，它们的分布函数记为：称为边缘分布函数。事实上，14对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为…………………………p11…p12p1j…p1·p21…p22p2j…p2·pi1…pi2pij…pi·XYy1y2…yj…p·1p·2p.j……1X,Y的边缘分布律为：注意：15对于连续型随机变量(X,Y)，概率密度为事实上，同理：X,Y的边缘概率密度为：1600.0250.350.04YX0102010.02520.0200.100.250.150.04X02
5、10.3700.4150.215pY020100.3150.3950.290p17例2：(X,Y)的联合分布律为求：(1)a,b的值；(2)X,Y的边缘分布律；(3)YX-1100.20.1a120.10.2bX10.420.6Y0.30.5-1100.2(2)解：(1)由分布律性质知a+b+0.6=1即a+b=0.418例3：设G是平面上的有界区域，其面积为A，若二维随机变量(X,Y)具有概率密度则称(X,Y)在D上服从均匀分布。现设(X,Y)在有界区域上均匀分布，其概率密度为求边缘概率密度解：192021§3条件分布由条件概率公式可得：当i取遍所有可能的
6、值，就得到了条件分布律。22定义：设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的yj，同样，对于固定的xi，23例1：盒子里装有3只黑球，4只红球，3只白球，在其中任取2球，以X表示取到黑球的数目，Y表示取到红球的只数。求（1）X，Y的联合分布律；（2）X=1时Y的条件分布律；(3)Y=0时X的条件分布律。解：X,Y的联合分布律为XY01201/154/152/1513/154/15021/150024故在X=1的条件下，Y的分布律为：同理P(Y=0)=1/3，故在Y=0的条件下，X的分布律为：XY01201/154/152/1513/154/15021/15
7、00X0121/53/51/5Y0123/74/7025例2：一射手进行射击，击中目标的概率为射击直中目标两次为止，设以X表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律和条件分布律。解：2627例3：设参加考研的学生，正常发挥的概率为a,超常发挥的概率为b，发挥失常的概率为c，a+b+c=1。设某班有10人参加考研，发挥正常的人数为X，发挥超常的人数为Y。求（1）（X,Y)的联合分布律；（2）P(X+Y>1)；（3）在Y=3的条件下，X的分布律。解:(1)X,Y的联合分布律为2829定义：条件分布函数30定义：条件概率密
8、度3132也就是，由事实上，另一种解释33条件概率密
