基本概念和一阶微分方程.doc

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1、§4.1　基本概念和一阶微分方程一、基本概念1．常微分方程含有自变量、未知函数和未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程．若未知函数是一元函数则称为常微分方程，而未知函数是多元函数则称为偏微分方程．我们只讨论常微分方程，故简称为微分方程，有时还简称为方程．2．微分方程的阶微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶．3．微分方程的解、通解和特解满足微分方程的函数称为微分方程的解；通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解；通解有时也称为一般解但不一定是全部解；不含有任意常数或任意常数确定后的解

2、称为特解．4．微分方程的初始条件要求自变量取某定值时，对应函数与各阶导数取指定的值，这种条件称为初始条件，满足初始条件的解称为满足该初始条件的特解．5．积分曲线和积分曲线族微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线；而通解在几何上是一族曲线称为该方程的积分曲线族．6．线性微分方程如果未知函数和它的各阶导数都是一次项，而且它们的系数只是自变量的函数或常数，则称这种微分方程为线性微分方程．不含未知函数和它的导数的项称为自由项，自由项为零的线性方程称为齐次线性方程；自由项不为零的方程为非齐次线性方程

3、．二、变量可分离方程及其推广1．变量可分离的方程（1）方程形式：　　通解　　　　　　　（注：在微分方程求解中，习惯把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（2）方程形式：通解　　　　2.变量可分离方程的推广形式（1）齐次方程　　，令，则（2），令，则【例1】求下列微分方程的通解（1）解（1）【例2】求下列微分方程的通解（1）解（1）令，则，原方程化为（注：∵）【例3】　求微分方程的通解.解　令，原方程化为化简为再令，则方程化为化简为三、一阶线性方程及其推广1.　一阶齐次线性方程　　　　　它也是变

4、量可分离方程，通解公式，（为任意常数）2.　一阶非齐次线性方程　　　　用常数变昜法可求出通解公式.令代入方程求出，则得　　　　　　　　　3.　伯努利方程　　　令，把原方程化为再按照一阶非齐次线性方程求解.4.方程：（可化为以y为自变量，x为未知函数再按照一阶非齐次线性方程求解）.【例1】　求下列微分方程的通解.（1）　　　　　　（2）解　（1）直接用常数变量法.对应的齐次线性方程为　，通解　令非齐次线性方程时，通解为　代入方程得，故所述方程的通解为　＝（2）此题不是一阶线性方程，但把x看作未知函数，y看作自

5、变量，所得微分方程即是一阶线性方程　　，【例2】设是的一个解，求此微分方程满足特解.解　将代入微分方程求出，方程化为先求出对应齐次线性方程　　的通解则非齐次线性方程的通解为再由，得　　故所求解　　　　　　　　　【例3】设，其中在内满足以下条件，，且，（1）求所满足的一阶微分方程（2）求出的表达式解（1）由可知所满足的一阶微分方程为（2）将代入，可知于是【例4】求下列微分方程的通解（1）（2）解（1）用除方程的两边，得令，则得一阶线性方程用代入，得（2）所给方程既属于齐次方程又属于伯努利方程故两种方法以便对照

6、解一令，则得，故解二，令，得，通解四、全微分方程及其推广（数学一）（略）五、差分方程（数学三）（略）