高一,正余定理.doc

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1、《解三角形》例题解析一、知识梳理1.正弦定理：===2R，其中R是三角形外接圆半径.2.余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,cosA=.3.S△ABC=absinC=bcsinA=acsinB,S△==Sr(S=,r为内切圆半径)=(R为外接圆半径).4.在三角形中大边对大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形内角的诱导公式(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos=sin,sin=

2、cos……在△ABC中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC;(2)A、B、C成等差数列的充要条件是B=60°；(3)△ABC是正三角形的充要条件是A、B、C成等差数列且a、b、c成等比数列.7.解三角形常见的四种类型(1)已知两角A、B与一边a,由A+B+C=180°及==，可求出角C，再求b、c.(2)已知两边b、c与其夹角A，由a2=b2+c2-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C.(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理=，求出另一边b的对角B

3、，由C=π-(A+B)，求出c，再由=求出C，而通过=求B时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：A>90°A=90°A<90°a>b一解一解一解a=b无解无解一解absinA两解无解无解a=bsinA一解a

4、边及其中一边对角，先利用正弦定理求出角A，再求其余的量．(2)先由sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c，求出a∶b∶c，再由余弦定理求出最大角．解　(1)由正弦定理及已知条件有＝，得sinA＝，∵a>b，∴A>B＝45°，∴A＝60°或120°.当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝＝＝，当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝＝＝.(2)根据正弦定理可知a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝(＋1)∶(－1)∶，∴边c最大，即角C最大．设a＝(＋1)k，b＝(－1)k，c＝k，则cosC＝＝＝－.∵C∈(0，π)

5、，∴C＝.回顾归纳　已知三角形的两边和其中一边的对角，应用正弦定理解三角形时，有时可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．►变式训练1　(1)△ABC中，AB＝1，AC＝，∠C＝30°，求△ABC的面积；(2)已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积．若a＝4，b＝5，S＝5，求c的长度．二、正、余弦定理在三角形中的应用例2　在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长．已知b2＝ac且a2－c2＝ac－bc.(1)求∠A的大；(2)求的值．点拨　(1)利用cosA＝求

6、解；(2)利用正弦定理对代数式进行转化．解　(1)∵b2＝ac且a2－c2＝ac－bc，∴a2－c2＝b2－bc，∴b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝＝＝，∴A＝60°.(2)方法一　在△ABC中，由正弦定理得：sinB＝，∵b2＝ac，∴＝.∴sinB＝＝，∴＝sinA＝sin60°＝.方法二　在△ABC中，由面积公式得：bcsinA＝acsinB∵b2＝ac，∴bcsinA＝b2sinB，∴＝sinA＝sin60°＝.回顾归纳　(1)在三角形的三角变换中，正、余弦定理及勾股定理是解题的基础．如果题目中同时出现角及边的关系，往往要利用正、余弦定理化成仅含边或仅

7、含角的关系．(2)要注意利用△ABC中A＋B＋C＝π，以及由此推得的一些基本关系式：sin(B＋C)＝sinA，cos(B＋C)＝－cosA，tan(B＋C)＝－tanA，sin＝cos等，进行三角变换的运算．►变式训练2　在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2－cos2A＝.(1)求∠A的度数；(2)若a＝，b＋c＝3，求b、c的值．.三、正、余弦定理在实际问题中的应用例3．如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求．解：（Ⅰ）因为所以，（Ⅱ）在中，，故由正弦定理

8、得故例4