考研数学之微分中值定理与导数的应用.doc

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1、考研数学之微分中值定理与导数的应用来源：文都教育微分中值定理可以说是考研整个高数部分的重点内容，也是难点内容，知识点琐碎，题型灵活多变而且技巧性很强，很多同学在这一部分复习的时间很长，但是最后还是觉得复习的不是很好。下面文都数学老师大致总结一下本章经常考的题型和做题方法。核心题型题型一证明函数恒等于常数若，则（C为常数）．常用：；．例:证明：．题型二不等式的证明（1）利用函数的单调性例证明：当时，．（2）利用函数的最值：求出函数在给定区间内的最大值、最小值，则函数在该区间内满足．例证明：，当时成立．（3）利用函

2、数的凸凹性：如果要证明的不等式中包含形如、的项，那么往往可以找到合适的函数，并利用该函数的凸凹性证明不等式．例已知，且，证明：．（4）利用微分中值定理证明：当不等式或其适当变形中有函数值之差时，一般可考虑用拉格朗日中值定理证明。当不等式或其适当变形中有两个函数在两点的函数值之差的比值时，可考虑用柯西中值定理．例设，证明：．（5）利用Taylor公式如果已知函数的高阶导数存在，则往往可以考虑通过Taylor公式将函数展开来进行证明．例已知，求证．题型三方程根的讨论（1）存在性，一般用零点定理；（2）唯一性，用单调

3、性．例证明方程在内有唯一实根．题型四（1）验证为的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费马引理可得证例（导数零点定理）设在上可导，，证明：存在一点，使．（2）验证在包含于其内的区间上满足罗尔定理例设在上连续，在内可导，又．证明：，使得．（3）利用Taylor公式例设在上有三阶连续导数，且，证明：，使得．题型五至少存在一点，使得或由所构成的代数式成立（1）做辅助函数；（2）验证满足罗尔定理．辅助函数的做法有如下两种：（原函数法）①将改为；②将式子写成容易去掉一次导数符号的形式（即容易积分的形式）；③作一次积分，

4、移项，使得等式一端为0，另一端即为辅助函数（为简便，积分常数取0）．例设在内可导，且，证明：，使得．（常数值法）①令常数部分为；②作恒等变形，使等式一端为及构成的代数式，令一端为及构成的代数式；③分析关于端点的表达式是否为对称式或轮换对称式，若是，只要把（或）改成，相应的函数值（或）改成，则变量代换后的表达式即为辅助函数．例设在上可导，证明：，使得．题型六在内，至少存在满足某个代数式证法：用两次拉格朗日中值定理；或用一次拉格朗日中值定理，用一次柯西中值定理；或用两次柯西中值定理．辅助函数利用分离变量法，使等式一

5、端只含有的式子，另一端只含有的式子，然后再结合原函数法分析．例设在上连续，在内可导，，证明：，使得．以上是文都考研数学老师总结的本章的主要内容和题型，这一部分复习关键在于要多多总结方法和技巧，每一道题，多想几种方法，有助于扩展思路。希望以上内容对大家有所帮助。