空间点直线平面之间的位置关系高考数学总复习高中数学课时训.doc

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1、空间点直线平面之间的位置关系基础自测1.给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两个平面互相平行；③若直线l1、l2与同一平面所成的角相等，则l1,l2互相平行；④若直线l1、l2是异面直线，则与l1、l2都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是.答案42.对于平面和直线l，内至少有一条直线与直线l（用“垂直”，“平行”或“异面”填空）.答案垂直3.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成部分.答案74.（2007·广东理，12）如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有条.这些直线中共有f(n)对异面直线，

2、则f(4)=;f(n)=.（答案用数字或n的解析式表示）答案8n(n-2)5.如图所示，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点，将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为.答案60°例1如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1，CG∶GD=3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连接EH.（1）求AH∶HD；（2）求证：EH、FG、BD三线共点.(1)解∵==2，∴EF∥AC.∴EF∥平面ACD.而EF平面EFGH，且平面EFGH∩平面ACD=GH，

3、∴EF∥GH.而EF∥AC，∴AC∥GH.∴==3,即AH∶HD=3∶1.（2）证明∵EF∥GH,且=，=，∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形.令EH∩FG=P，则P∈EH，而EH平面ABD，P∈FG，FG平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点.例2如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1，B1C1的中点.问：（1）AM和CN是否是异面直线？说明理由；（2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由.解（1）不是异面直线.理由如下：∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点.∴MN∥A1C1，又∵A1AD1D，而D1DC1C，∴A1

4、AC1C，∴四边形A1ACC1为平行四边形.∴A1C1∥AC，得到MN∥AC，∴A、M、N、C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线.（2）是异面直线，证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1.∴BC平面CC1D1，这与正方体ABCD—A1B1C1D1中BC⊥面CC1D1相矛盾.∴假设不成立，故D1B与CC1是异面直线.例3（16分）如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.（1）求四棱锥的体积；（2）若E是PB的中点，求异面直

5、线DE与PA所成角的余弦值.解（1）在四棱锥P—ABCD中，∵PO⊥平面ABCD，∴∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBO=60°，2分在Rt△POB中，∵BO=AB·sin30°=1，又PO⊥OB，∴PO=BO·tan60°=,∵底面菱形的面积S=2××2×2×=2.∴四棱锥P—ABCD的体积VP—ABCD=×2×=2.8分（2）取AB的中点F，连接EF，DF，∵E为PB中点，∴EF∥PA，∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角（或其补角）.10分在Rt△AOB中，AO=AB·cos30°==OP，∴在Rt△POA中，PA=6，∴EF=.12分在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF

6、=DE=，由余弦定理得∴cos∠DEF=14分===.所以异面直线DE与PA所成角的余弦值为.16分1.如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG相交于点O.求证：B、D、O三点共线.证明∵E∈AB，H∈AD，∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.∴EH平面ABD.∵EH∩FG=O，∴O∈平面ABD.同理可证O∈平面BCD，∴O∈平面ABD∩平面BCD，即O∈BD，所以B、D、O三点共线.2.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是CD的中点，连接AE并延长与BC的延长线交于点F，连接BE并延长交AD的延长线于点G，连接FG.求证：直线FG平面ABCD且直线F

7、G∥直线A1B1.证明由已知得E是CD的中点，在正方体中，由于A∈平面ABCD，E∈平面ABCD，所以AE平面ABCD.又AE∩BC=F，从而F∈平面ABCD.同理G∈平面ABCD，所以FG平面ABCD.因为ECAB，故在Rt△FBA中，CF=BC，同理DG=AD.又在正方形ABCD中，BCAD，所以CFDG，所以四边形CFGD是平行四边形，所以FG∥CD.又CD∥AB，AB∥A1B1，所以直