大学物理教程2-1 上学期习题答案

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1、习题一1-1一质点在平面xOy内运动,运动方程为,(SI).(1)求质点的运动轨道;(2)求和时刻质点的位置矢量;(3)求和时刻质点的瞬时速度和瞬时加速度;(4)在什么时刻,质点的位置矢量和速度矢量垂直?这时x、y分量各为多少?(5)在什么时刻,质点离原点最近?最近距离为多大?[解]质点的运动方程,(1)消去参数t,得轨道方程为:(2)把代入运动方程,得把代入运动方程,得(3)由速度、加速度定义式,有所以,t时刻质点的速度和加速度分别为所以,时,,时,,(4)当质点的位置矢量和速度矢量垂直时,有即整理,得解得;;(舍去)(5)任一时刻t质

2、点离原点的距离1-127令可得所以,时,质点离原点最近1-2一粒子按规律沿x轴运动,试分别求出该粒子沿x轴正向运动;沿x轴负向运动;加速运动;减速运动的时间间隔.[解]由运动方程可得质点的速度(1)粒子的加速度(2)由式(1)可看出当时,,粒子沿x轴正向运动;当时,,粒子沿x轴负向运动.由式(2)可看出当时,,粒子的加速度沿x轴正方向;当时,,粒子的加速度沿x轴负方向.因为粒子的加速度与速度同方向时,粒子加速运动,反向时,减速运动,所以,当或间隔内粒子加速运动,在间隔内里粒子减速运动.1-3一质点的运动学方程为,(S1).试求:(1)质点

3、的轨迹方程;(2)在s时,质点的速度和加速度.[解](1)由质点的运动方程(1)(2)消去参数t,可得质点的轨迹方程(2)由(1)、(2)对时间t求一阶导数和二阶导数可得任一时刻质点的速度和加速度所以(3)所以(4)把代入式(3)、(4),可得该时刻质点的速度和加速度.1-4质点的运动学方程为,,其中A、B、为正常数,质点的轨道为一椭圆.试证明质点的加速度矢量恒指向椭圆的中心.[证明]由质点的运动方程(1)1-127(2)对时间t求二阶导数,得质点的加速度所以加速度矢量为可得加速度矢量恒指向原点——椭圆中心.1-5质点的运动学方程为(SI

4、),试求:(1)质点的轨道方程;(2)时质点的速度和加速度.[解](1)由质点的运动方程,可得消去参数t,可得轨道方程(2)由速度、加速度定义式,有将代入上两式,得1-6已知质点的运动学方程为,,,其中r、、c均为常量.试求:(1)质点作什么运动?(2)其速度和加速度?(3)运动学方程的矢量式.[解](1)质点的运动方程(1)(2)(3)由(1)、(2)消去参数t得此方程表示以原点为圆心以r为半径的圆,即质点的轨迹在xoy平面上的投影为圆.由式(2)可以看出,质点以速率c沿z轴匀速运动.综上可知,质点绕z轴作螺旋线运动.(2)由式(1)、

5、(2)、(3)两边对时间t求导数可得质点的速度1-127所以由式(1)、(2)、(3)两边对时间求二阶导数,可得质点的加速度所以(3)由式(1)、(2)、(3)得运动方程的矢量式1-7湖中一小船,岸边的人用跨过高处的定滑轮的绳子拉船靠岸(如图所示).当收绳速度为时,试问:(1)船的运动速度u比v大还是小?(2)若.船能否作匀速运动?如果不能,其加速度为何值?[解](1)由图知两边对t求导数,并注意到h为常数,得又所以(1)即因此船的速率u大于收绳速率v.(2)将(1)式两边对求导,并考虑到是常量所以即1-8质点沿x轴运动,已知,当s时,质

6、点在原点左边52m处(1-127向右为x轴正向).试求:(1)质点的加速度和运动学方程;(2)初速度和初位置;(3)分析质点的运动性质.[解](1)质点的加速度又所以对上式两边积分,并考虑到初始条件得所以因而质点的运动学方程为(2)将代入速度表达式和运动学方程,得(3)质点沿轴正方向作变加速直线运动,初速度为8m/s,初位置为m.1-9一物体沿x轴运动,其加速度与位置的关系为.物体在处的速度为,求物体的速度与位置的关系.[解]根据链式法则对上式两边积分并考虑到初始条件,得故物体的速度与位置的关系为1-10一质点在平面内运动,其加速度,且,

7、为常量.(1)求和的表达式;(2)证明质点的轨迹为一抛物线.时,,.[解]由得两边积分得因,为常量,所以a是常矢量,上式变为即1-127由得两边积分,并考虑到和a是常矢量,即(2)为了证明过程简单起见,按如下方式选取坐标系,使一个坐标轴(如y轴)与a平行,并使质点在时刻位于.这样(1)(2)联立(1)~(2)式,消去参数t得此即为轨道方程,它为一条抛物线.1-11在重力和空气阻力的作用下,某物体下落的加速度为,g为重力加速度,B为与物体的质量、形状及介质有关的常数.设时物体的初速度为零.(1)试求物体的速度随时间变化的关系式;(2)当加速

8、度为零时的速度(称为收尾速度)值为多大?[解](1)由得两边分别积分,得所以,物体的速率随时间变化的关系为:(2)当时有(或以代入)由此得收尾速率1-12一质点由静止开始作直线运动,初始加速度

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