ch3矩阵的初等变换与线性方程组ppt课件.ppt

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1、第3章矩阵的初等变换与线性方程组§3.3线性方程组§3.2矩阵的秩§3.1矩阵的初等变换-1-第3章矩阵的初等变换与线性方程组3.1.4用初等变换求逆矩阵3.1.3矩阵的等价标准形3.1.2初等矩阵3.1.1矩阵的初等变换3.1.5用逆矩阵解矩阵方程§3.1矩阵的初等变换§3.1矩阵的初等变换初等变换是研究矩阵的性质、求矩阵的逆和解线性方程组的重要工具.其核心是利用初等变换，把复杂矩阵化成简单矩阵来处理,，同时要求简单矩阵还要保留原来矩阵的若干性质.下面三种变换称为矩阵的初等行变换.(1)互换两行：(2)数乘某行：(3)倍加某行：3.1.1矩阵的初等变换定义3.1矩阵的初等行变换与初

2、等列变换统称为矩阵的初等变换．同理，把r换成c可定义矩阵的初等列变换.-4-3.1.1矩阵的初等变换定义如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价，记作例如-5-记号例如(下页)3.1.2初等矩阵定义由n阶单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为n阶初等矩阵.为什么?回想它们的逆变换？再验证一下：定理初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵仍是同一种初等矩阵.且例1初等矩阵为非奇异矩阵.解例如：-9-定理相当于相当于相当于相当于相当于相当于设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在矩阵A的左边乘相应的m阶初等对A施行一次初等列变换，相当于在矩阵A的右边乘相应的n阶初

3、等矩阵，即矩阵；此定理也可称为“左行右列”原则.-10-用相应的初等矩阵左乘.用相应的初等矩阵右乘.用相应的初等矩阵左乘.用相应的初等矩阵右乘.用相应的初等矩阵左乘.用相应的初等矩阵右乘.上式例2计算解(A)交换的第一列与第二列得到(B)交换的第一行与第二行得到(C)交换的第一列与第二列得到(D)交换的第一行与第二行得故选(C).例3设A为n阶可逆矩阵(n≥2),交换A的第1行与第2行得到矩阵B，则（）解3.1.3矩阵的等价标准型1.阶梯形矩阵非零行的首非零元的列下标随其行下标的递增而严格递增(即首非零元的左下方元素全为零).定义具有以下特征的矩阵称为阶梯矩阵：零行位于全部非零行的下

4、方;例如都是阶梯矩阵.-16-三、矩阵的等价标准型-17-非零行的首非零元所在列的其余元均为零.例如都是行简化梯矩阵.定义如果一个阶梯矩阵具有如下特征，则称其为最简阶梯矩阵(行简化梯矩阵):非零行的首非零元为1;2.简化阶梯形矩阵例4只用初等行变换将矩阵A化为简化阶梯形矩阵.阶梯形阶梯形最简阶梯形定理只用初等行变换必能将矩阵化为阶梯形矩和行简化阶梯形矩阵.若再用初等列变换还可将矩阵化为更简单的形状.例5用初等变换将例4中的矩阵A化为更简.根据例4，不难得到下面定理：阶梯形矩阵不唯一，行简化阶梯形矩阵唯一.(续例4)形状为3.标准形矩阵化为:定理用初等变换必能将矩阵称此矩阵为矩阵A的等

5、价标准形.[r≤min(m,n)].例6用初等变换将下列矩阵化为标准形：-23-小结：矩阵的初等变换与初等矩阵“左行右列”原则和等价标准形定理作业：P861（1）（4）使得和根据“左行右列”原则和等价标准形定理，或对任意矩阵A存在可逆矩阵P和Q,使得(1)推论1对任意矩阵A存在有限个初等矩阵一些有用的推论如下：定理n阶方阵A可逆的充要条件是A可表示成有限个初等矩阵的乘积.(2)因为初等矩阵的逆仍然是初等矩阵，再由(2)得：推论2方阵A可逆的充要条件是A的等价标准这是因为如果A可逆，则(1)式中A的等价标准形必为E，否则左边是可逆矩阵,右边是不可逆矩阵，矛盾.反之,如果A的等价标准形为

6、E，由(1)式有由(2)知A是可逆的.形为E.这说明:方阵A可逆的充要条件是只用初等行变换必可将A化为单位矩阵E.推论3如果A可逆,由(2)又得3.1.4用初等变换求逆矩阵设A可逆，则其逆也可逆，根据前面定理，存在初等矩阵使构造分块矩阵(A,E)，则即初等行变换-28-四、用初等变换求逆矩阵的逆矩阵.作3×6矩阵例1求矩阵解-29--30-于是得到如果不知矩阵A是否可逆，也可按上述方法去做,只要n×2n左边子块有一行元素全为零，则A不可逆.-31-例2判断求作3×6矩阵∵左边子块第三行全为０，∴A不可逆.解是否可逆，若可逆-32-五、用逆矩阵解矩阵方程1.解矩阵方程AX=B(假设A可

7、逆)方法1：先求，再计算方法2：方法1：先求，再计算2.解矩阵方程XA=B(假设A可逆)方法2：3.1.5用逆矩阵解矩阵方程解例3求矩阵X，使,其中由AX+B=X，得这说明E−A是可逆矩阵，且小结：用初等变换求逆矩阵解矩阵方程作业：P862（2）、3（2）3.2.2用初等变换求矩阵的秩3.2.1矩阵秩的定义§3.2矩阵的秩§3.2矩阵的秩3.2.1矩阵的秩的定义在矩阵中任选k行k列其相交处的个元素，按原来定义3.5的位置构成k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式