定积分的几何应用举例课件.ppt

《定积分的几何应用举例课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第八节定积分的几何应用举例一、元素法二、平面图形的面积三、体积四、平面曲线的弧长一、元素法1、什么问题可以用定积分解决?2)A对于区间[a,b]具有可加性，3)部分量的近似值可表示为;当所求量A(非均匀分布量)符合下列条件：1)A是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量；即可通过:“大化小,常代变,近似和,取极限”表示为就可以考虑用定积分来表达这个量A.2、如何应用定积分解决问题?1)根据问题的实际意义,确定一个积分变量x及其变化区间[a,b].2)任取一个小区间记为[x,x+dx],求出相应于这个区间的部分量A的近似值微分表达式dA=f(x)dx3）求出整体量

2、,即积分表达式这个方法通常叫做元素法．应用方向：求平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．二、平面图形的面积1、直角坐标系情形1)设曲线y=f(x)(x0)与直线x=a,x=b(a

3、元素)dA.2.求出边界曲线的交点.5.求出3.确定一个积分变量及其变化区间[a,b].解得两曲线的交点解得两曲线的交点解得交点为说明：注意各积分区间上被积函数的形式．用参数方程表示的曲边梯形的面积若曲边梯形的曲边y=f(x)(axb)可化为参数方程则曲边梯形的面积解由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当a=b时得圆面积公式解由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．例5求星形线围成图形的面积.面积元素曲边扇形的面积2、极坐标系情形解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积例7计算心形线与圆所围图形的面积.解利用对称性,所

4、求面积练习：计算心形线的内部与圆外部所围图形的面积.求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）3、小结旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台三、旋转体的体积1、绕x轴旋转所得旋转体体积xyo旋转体的体积为例1计算由椭圆所围图形绕x轴旋转而成的椭球体的体积.解则(利用对称性)当b=a时,就得半径为a的球体的体积方法2利用椭圆参数方程则2、绕y轴旋转所得旋转体体积解解3、补充(练习：P76.三xyo解体积元素为(2)曲边梯形绕直线x=a旋转所得旋转体体积旋

5、转体的体积绕轴旋转一周绕轴旋转一周绕非轴直线旋转一周4、小结四、平行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积五、平面曲线的弧长1、平面曲线弧长的概念弧长元素弧长2、弧长的计算1）直角坐标情形解所求弧长为解曲线弧为弧长2）、参数方程情形解星形线的参数方程为根据对称性第一象限部分的弧长曲线弧为弧长3）、极坐标情形解平面曲线弧长的概念直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下弧微分的概念求弧长的

6、公式5、小结练习：的一拱与x轴所围平面图形的面积.解:求由摆线解证根据椭圆的对称性知故原结论成立.思考题思考题解答不一定．仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长．练习1、求心形线=a(1+cos)的内部与圆=a的外部所围图形的面积.2、设抛物线的轴平行于x轴，开口向左，且通过原点与点(2,1)，求它与y轴之间面积为最小的抛物线方程.练习1、求由曲线(x2)2+y2=1围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积.2、求半径为r高为h的球缺的体积.3、在一半径为R的球内以直径为轴打一个半径为r的圆孔(r