格林（Green）公式曲线积分与路径无关的条件ppt课件.ppt

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1、§3格林(Green)公式曲线积分与路径无关的条件一、区域连通性的分类二、格林公式三、简单应用四、曲线积分与路径无关的定义一、区域连通性的分类设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD设空间区域G,如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G,则称G是空间二维单连通域;如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面,则称G为空间一维单连通区域.GGG一维单连通二维单连通一维单连通二维不连通一维不连通二维单连通二、格林公式定理1边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.证明(1)yxoab

2、DcdABCE同理可证yxodDcCE证明(2)D两式相加得GDFCEAB证明(3)由(2)知xyoL1.简化曲线积分三、简单应用AB2.简化二重积分xyo解xyoLyxoxyo(注意格林公式的条件)3.计算平面面积解其中L是曲线

3、x

4、+

5、y

6、=1围成的区域D的正向边界。11-1-1LDyxO格林公式的应用（格林公式）从证明了：练习1计算积分解①②③④练习2求星形线所界图形的面积。解yxODL11-1-1重要意义：1.它建立了二重积分与曲线积分的一种等式关系2.它揭示了函数在区域内部与边界之间的内在联系4.它的应用范围可以突破右手系的限制，使它的应用3.从它出发，可以导出数学物理

7、中的许多重要公式更加广泛，而这只需要改变边界的正向定义即可。四、曲线积分与路径无关的定义如果对于区域G内任意指定的两点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L1，L2有GyxoBA===0所以===于是，在内应用格林公式，有与路径无关.L与路径无关解因此，积分与路径无关。则P，Q在全平面上有连续的一阶偏导数，且全平面是单连通域。取一简单路径：L1+L2.因此，积分与路径无关。全平面是单连通域。解因此，积分与路径无关。则P，Q在全平面上有连续的一阶偏导数，且全平面是单连通域。因此，积分与路径无关。全平面是单连通域。取一简单路径：L1+L2.解例7验证：在xoy面内，是某个函数u(x

8、,y)的全微分，并求出一个这样的函数。这里且在整个xoy面内恒成立。即，因此，在xoy面内，是某个函数u(x,y)的全微分。解1.连通区域的概念;2.二重积分与曲线积分的关系3.格林公式的应用.——格林公式;五、小结与路径无关的四个等价命题条件等价命题作业：P231:1,2,3,4,5,6,7.若区域如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向。思考题思考题解答由两部分组成外边界：内边界：