三次函数性质总结.doc

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1、三次函数性质的探索我们已经学习了一次函数，知道图象是单调递增或单调递减，在整个定义域上不存在最大值与最小值，在某一区间取得最大值与最小值．那么，是什么决定函数的单调性呢？利用已学过的知识得出：当k>0时函数单调递增；当k<0时函数单调递增；b决定函数与y轴相交的位置．其中运用的较多的一次函数不等式性质是：在[m，n]上恒成立的充要条件接着，我们同样学习了二次函数，图象大致如下：　　图1                            图2利用已学知识归纳得出：当时(如图1)，在对称轴的左侧单调递减、右侧单调递增，对称轴上取得最小值；当时(图2)

2、，在对称轴的左侧单调递增、右侧单调递减，对称轴上取得最大值．在某一区间取得最大值与最小值．其中a决定函数的开口方向，a、b同时决定对称轴，c决定函数与y轴相交的位置．总结：一次函数只有一个单调性，二次函数有两个单调性，那么三次函数是否就有三个单调性呢？三次函数专题一、定义：定义1、形如的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。定义2、三次函数的导数，把叫做三次函数导函数的判别式。由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。特别是文科。O系列探究1：从最简单的三

3、次函数开始反思1：三次函数的相关性质呢？反思2：三次函数的相关性质呢？反思3：三次函数的相关性质呢？（2012天津理）（4）函数在区间(0,1)内的零点个数是B（A）0（B）1（C）2（D）3系列探究2：探究一般三次函数的性质：先求导1．单调性：（1）若，此时函数在R上是增函数；（2）若，令两根为且，则在上单调递增，在上单调递减。a>0a<0导函数>00>00图象x1x2xx0xx1x2xx0x2．极值点的个数：若函数f(x)在点x0的附近恒有f(x0)≥f(x)(或f(x0)≤f(x))，则称函数f(x)在点x0处取得极大值（或极小值），称点x0为

4、极大值点（或极小值点）。（1）若，此时函数无极值；三次函数在上不存在极值点。（2）若，三次函数在上的极值点要么有两个。且两根为且，此时函数在处取极大值，简言之：波峰是为极大值在处取极小值，简言之：波谷是为极小值论证如下：令f′（x）=3ax2+2bx+c，y=f（x）的极值点就是方程f/（x）=0的实根。①当Δ=4b2-12ac＞0时，方程f/（x）=0有两个不等的实根，记为x1、x2，则x1、x2是f（x）在(-∞,+∞)上的两个极值点；②当Δ=4b2-12ac=0时，该方程有两个等根：x1=x2=x0，由下表可知y=f（x）在(-∞,+∞)上单调

5、增，此时y=f（x）没有极值点；x(-∞,x0)x0（x0，+∞)f/（x）+0+f(x)↗↖③当Δ=4b2-12ac＜0时，f/（x）=0无实根，f(x)没有极值点，结论得证。3.奇偶性：函数当且仅当时是奇函数。4．对称性：函数图象关于点中心对称（了解）证明：三次函数关于点（m，n）对称的充要条件是，即+，整理得，据多项式恒等对应系数相等,可得且=，从而三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；证明：设函数的对称中心为（m，n）。按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以化简得：上式对恒成立，故，得，。所以，函数的对称中心是（）。实际上：其导函数

6、为对称轴为，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，y＝f(x)图象的对称中心在导函数y＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。由上又可得以下结论：是可导函数，若的图象关于点对称，则图象关于直线对称.证明的图象关于对称，则图象关于直线对称.若图象关于直线对称，则图象关于点对称.证明图象关于直线对称，则，，，图象关于点对称.这是因为：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数系列探究3：三次函数f（x）图象的切线条数由三次函数的中心对称性可知：过三次函数的对称中心且与该三次曲线相切的直线有且只有

7、一条；而过三次曲线上除对称中心的任一点与该三次曲线相切的直线有二条。例.已知曲线y＝　x3/3＋4/3，求曲线在点（２，４）处的切线方程解：f´（x）＝x2，f´（２）＝４，曲线在点（２，４）处的切线斜率为k＝f´（２）＝４∴代入直线方程的斜截式，得切线方程为：y－４＝４（x－２），　即　y＝４x－４变式：已知曲线y＝x3/3＋4/3，则曲线过点（２，４）的切线方程——————。错解：依上题，直接填上答案４x－y－４＝０错因剖析：如下图所示，在曲线上的点A处的切线与该曲线还有一个交点。这与圆的切线是有不同的。点（２，４）在曲线y＝x3/3＋4/3上，

8、它可以是切点也可以不是。正确解法：设过点（２，４）的切线对应的切点为（x0，x03/3＋4/3），斜率为k=