分子模拟教程.doc

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1、第二章数值积分和MonteCarlo方法第一节数值积分令，则零阶近似一阶近似∵∴从直观看，用近似比只用或好。这方法也称Trapezoid方法。这样的数值积分方法的优点：l简单直观，误差可以控制缺点：l“平均主义”，在的区域，对S贡献很小，但消耗同等的机时。在多自由度系统这弱点尤为特出。问题：直观地看，零级近似和一级近似的差别在哪？习题：编程序数值计算高斯积分。第二节MonteCarlo方法如何用随机方法求积分？例如，可用‘抛石子’方法。但这方法不比简单的数值积分有效。1．简单抽样的MonteCar

2、lo方法均匀地随机地选取[]中，显然，当M足够大，当然可以得到足够好的积分值。问题：为什么误差是？答：不妨把这看成一个M次测量的实验，假设每次测量都是独立的，由涨落理论，误差应为。比较误差：MonteCarlo方法数值积分Trapezoid方法对单自由度而言，数值积分方法要有效得多。对多自由度，例如d自由度，MonteCarlo方法！！数值积分Trapezoid方法当d非常大，数值积分方法根本没法和MonteCarlo方法比较。我们当然可以再改进数值积分方法的精度，但这种改进的量级没法和d的大小比

3、拟。在多体系统的数值模拟中，d通常至少是！MonteCarlo方法真的是完美了吗？当然不是。l‘平均主义’的弱点其实还没改进下面我们引入所谓的重要抽样MonteCarlo方法l当引入重要抽样方法后，每次抽样的样品可能不独立如何取得独立的抽样，是MonteCarlo方法的重点所在！2．重要抽样的MonteCarlo方法如果被积函数f(x)是均匀的函数，则简单抽样方法已经可以得到相当准确的积分值。如果被积函数f(x)不是均匀的函数----这在高维积分十分常见，则必须引入重要抽样。我们希望在对积分贡献大

4、的区域多取样品，在贡献小的区域少取样品。设积分为其中f(x)是均匀函数，W(x)是不均匀函数，而且，可以归一化，给予概率分布的含义。假设我们可以按照分布W(x)得到，则注意：现在W(x)不出现在求和式子中，而是体现在的分布里。证明：如第一节方法，把[]分为n个小区间，区间的数目约为对显然关键：如何按分布，产生M个（即上面的）问题：可以用产生随机数的方法产生吗？答：多自由度，有相互作用时不可能3．Markov过程产生的方法：构造一个Markov过程，即给出一个动力学规则，由随机地产生。那么，给一个，

5、可产生如果随机过程满足一定条件，则当足够大时，即达到“平衡态”时，按分布。两个条件：·各态历经从概率上说，在有限时间内可走遍[]·细致平衡Markov过程由从到的转移概率定义。设为过程从转移（或跃迁）到的概率，为从到的概率。则细致平衡条件为记忆：从转移到的概率正比与证明：设为的“非平衡态”分布细致平衡条件显然保证满足上述方程，所以，不过，细致平衡条件是充分条件。第三节Metropolis算法和Heat－bath算法Markov过程的全部信息包含在转移概率中l细致平衡条件是平衡态的要求l是否各态历经

6、常常可以直观判断必须给出从任意x到任意x’的概率，但这并不一定要求从x到任意x’的概率都是零。各态历经只要求在有限时间内，即的有限次作用，能到达x’。1．Metropolis算法Metropolis(1915-1999)ThePaperwascited7500timesfrom1988to2003令设设即满足细致平衡条件。但是，注意到是转移概率，所以应有归一化条件上面的还不满足归一化条件。所以，完整的Metropolis算法的转移概率是其中是从x选中x’的概率，而且。这样的转移概率仍然满足细致平衡

7、条件。当然，归一化条件也能保证。例如，可选1．，即均匀选取x’2．归纳起来，Metropolis算法包括如下步骤：1）设，按选取尝试x’，2）以概率取以概率取（！！）第二步要记住，初学者容易误解，以为一旦x’不被采纳，重新选取尝试x’。不难理解，无论是1或2方案的，Metropolis算法都满足各态历经条件，因为只要，在有限时间取到x’的概率不为零。Metropolis算法非常普遍。一个重要的例子，在物理学中，常取为正则分布，其中H(x)代表能量，T是温度，k是Boltzmann常数。所以，跃迁概

8、率为如何在计算机上实现？①设已到达点，按均匀分布随机地取为一‘恰当’的数例如，取为计算机上常用的“随机”数，则②以概率取以概率取例如，计算，取随机数如果，取，否则③如何取？这与具体系统有关。通常通过尝试改变以判断是否够大，即随机过程是否已到达“平衡”态。一般。不过，对单自由度问题，不重要。练习：①计算，和解析结果比较②，计算l讨论的作用l对没有解析解的系统，如何判断数值结果的可靠性和正确性？l有兴趣的同学还可以和数值积分比较，会发现MonteCarlo方法在单自由度情形没有优势1．