高中数学必修5 ppt课件.ppt

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1、正弦定理的基本应用正弦定理主要用于解决下列两类解三角形的问题：（1）已知两角与一边，用正弦定理，有解时，只有一解.（2）已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：判断三角形解的个数也可由“三角形中大边对大角”来判定(A为锐角)：若a≥b,则A≥B，从而B为锐角，有一解；若a1，无解；②sinB=1，一解；③sinB<1，两解.【例1】已知在△ABC中，B=45°，解这个三角形.【审题指导】在△ABC中，已知两边和其中一边的对角，可运用正弦定理求解，但要注意解的个数的判定

2、.【规范解答】由正弦定理及已知条件有得因为a>b，所以A>B，又∴A=60°或120°，当A=60°时，C=180°-45°-60°=75°，当A=120°时，C=180°-45°-120°=15°，综上可知：A=60°,C=75°,或A=120°，C=15°，【互动探究】若将本例中的条件改为其他条件不变，本例答案又如何?【解题提示】由条件可知a

3、，把关系式中的边化为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式，然后给予判定.在正弦定理的推广中，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC(R为三角形外接圆的半径)是化边为角的主要工具.正弦定理及三角函数知识是判断三角形形状的主要方法，要注意灵活运用正弦定理的变形.【例2】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且试判断△ABC的形状.【审题指导】将式中的a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、2RsinC来代替是解决本题的关键.【规范解答】由正弦定理（R为△ABC外接圆的半径）得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入中，可得所以，tan

4、A=tanB=tanC.又因为A、B、C是△ABC的内角，所以A=B=C，所以△ABC是等边三角形.【变式训练】在△ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，且试判断△ABC的形状.【解题提示】结合正弦定理，将已知等式变形，寻找角B、C之间的关系，求出角B、C，从而判断三角形的形状.【解析】方法一：由得∴sinB=cosB，即∴B=45°，同理，C=45°.∴A=180°-B-C=90°.所以△ABC为等腰直角三角形.方法二：由得(*)把a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC(R为△ABC外接圆的半径)，代入(*)，得2R=2RtanB=2RtanC，∴tanB=tan

5、C=1，又0°＜B，C＜180°，∴B=C=45°，A=90°，所以△ABC为等腰直角三角形.利用正弦定理证明等式利用正弦定理证明等式应注意：观察等式的特点，有边有角，需把边、角统一，为此用正弦定理将a、b、c转化为sinA、sinB、sinC，此时题目完全转化成三角函数的运算了.可见，三角形中的三角函数问题也是解三角形过程中经常遇到的.要注意灵活应用正弦定理的变形公式.【例】在任意△ABC中，求证：a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)=0.【审题指导】本题要求证的式子中既有角也有边，可考虑把边统一化为角或把角统一化为边.【规范解答】方法一：设R

6、为△ABC外接圆的半径，则左边=2RsinA·(sinB-sinC)+2RsinB·(sinC-sinA)+2RsinC(sinA-sinB)=2R(sinAsinB-sinAsinC+sinBsinC-sinAsinB+sinAsinC-sinBsinC)=0=右边,原等式得证.方法二：设R为△ABC外接圆的半径，则左边=bc-ab+ac-bc)=0=右边，原等式得证.【变式备选】在△ABC中，若求证：a+c=2b.【证明】∵∴即sinA+sinAcosC+sinC+sinCcosA=3sinB，∴sinA+sinC+sin(A+C)=3sinB即sinA+sinC=2sinB,∴a

7、+c=2b.【典例】(12分)(2011·石家庄高一检测)在△ABC中，已知c=1，B=45°，求a、A、C.【审题指导】可利用正弦定理求解，但要注意判断三角形解的个数.【规范解答】由正弦定理得，…………………………2分由c