迭代法的收敛条件ppt课件.ppt

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1、1解线性方程组的迭代法3.5迭代法的收敛条件3.5.1矩阵的谱半径迭代法的收敛性与迭代矩阵的特征值有关。定义3.3设A为n阶方阵，为A的特征值，称特征值模的最大值为矩阵A的谱半径，记为称为矩阵A的谱.2解线性方程组的迭代法由特征值的定义容易得出，矩阵矩阵的谱半径与范数有以下关系。的谱是因而3解线性方程组的迭代法定理3.3设A为任意n阶方阵，为任意由向量范数诱导出的矩阵范数，则[证明]对的任一特征值及相应的特征向量都有因为为非零向量，于是有由的任意性即得4解线性方程组的迭代法定理3.4设A为n阶方阵，则对任意正数存在一种矩阵范数

2、使得证明参看［１］.对任意n阶方阵A,一般不存在矩阵范数使得但若A为对称矩阵，则下面的结论对建立迭代法的收敛性条件非常重要。5解线性方程组的迭代法定理3.5设A为n阶方阵，则［证明］必要性.若而于是由极限存在准则，有由定义3.2得的充要条件为所以6解线性方程组的迭代法充分性.若取由定理3.4存在一种存在一种使得所以而于是7解线性方程组的迭代法3.5.2迭代法的收敛条件定理３.６对任意初始向量和右端项由迭代格式产生的向量序列收敛的充要条件是［证明］设存在n维向量使得则满足p98解线性方程组的迭代法由迭代公式(3-24),有于是有

3、因为为任意n维向量,因此上式成立必须由定理3.59解线性方程组的迭代法反之，若则不是M的特征值，因而有于是对任意n维向量g,方程组有唯一解，记为即并且又因为所以，对任意初始向量都有即由迭代公式(3-24)产生的向量序列收敛.p710解线性方程组的迭代法由定理3.4即得推论１在定理3.6的条件下,若则收敛.推论２松弛法收敛的必要条件是［证明］设松弛法的迭代矩阵有特征值因为由定理3.6，松弛法收敛必有p1911解线性方程组的迭代法又因为于是有所以12解线性方程组的迭代法定理3.6表明，迭代法收敛与否只决定于迭代矩阵的谱半径，与初始

4、向量及方程组的右端项无关。对同一方程组，由于不同的迭代法迭代矩阵不同，因此可能出现有的方法收敛，有的方法发散的情形.13解线性方程组的迭代法例３讨论用Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法求解方程组的收敛性．［解］由定理3.6，迭代法是否收敛等价于迭代矩阵的谱半径是否小于１，因为故应先求迭代矩阵。14解线性方程组的迭代法Jacobi迭代法的迭代格式为迭代矩阵为p1615解线性方程组的迭代法其特征方程为因此有于是所以Jacobi迭代法收敛.16解线性方程组的迭代法如果用Gauss-Seidel迭代，容易求出于是迭代矩

5、阵为其中又p1417解线性方程组的迭代法其特征方程为特征值为故所以，Gauss-Seidel迭代法发散.18解线性方程组的迭代法例３也说明了确实只是松弛法收敛的必要条件，而非充要条件，因为Gauss-Seidel迭代即为的情形.定理3.6虽然给出了判别迭代法收敛的充要条件，但实际使用是很不方便。因为求逆矩阵和特征值的难度并不亚于用直接方法求解线性方程组。推论１与推论２使用起来方便得多，但它们分别给出收敛的充分条件与必要条件，许多情形下，不能起作用.19解线性方程组的迭代法如例３中，两个方法均有由推论１无法判别收敛性。特殊的系数

6、矩阵给出几个常用的判敛条件。下面对一些定义3.4(1)(严格对角占优)设如果A满足则称A为严格对角占优阵.20解线性方程组的迭代法且至少有一个i值，使上式中不等号严格成立，则称为A弱对角占优阵。定义3.5如果矩阵Ａ不能通过行的互换和相应列的互换成为形式(2)若n阶方阵满足其中为方阵，则称A为不可约.21解线性方程组的迭代法如例３的系数矩阵矩阵是可约的.为n阶方阵若存在非空集使得当而显然,若A是可约的,则A所对应的线性方程组可化为低阶方程组.时有则A是可约阵.是不可约的.而一般地，设22解线性方程组的迭代法几个常用的收敛条件.设

7、有线性方程组下列结论成立：1.若A为严格对角占优阵或不可约弱对角占优阵,则Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收敛.2.若A为严格对角占优阵,则松弛法收敛.3.若A为对称正定阵,则松弛法收敛.因此有:若A为对称正定阵,则松弛法收敛的充分必要条件是4.若A为对称正定阵,则Gauss-Seidel迭代法收敛.23解线性方程组的迭代法例:考虑A为严格对角占优阵，故Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代均收敛.又如例２中，系数矩阵非严格对角占优,但A为对称正定矩阵,故松弛法收敛。上述结论的证明可参看[1],[

8、7].其中例对线性方程组讨论Jacobi迭代法及Gauss-Seidel迭代法的收敛性.解:Jacobi迭代的迭代矩阵为故Jacobi迭代法收敛.Gauss-Seidel迭代矩阵故Gauss-Seidel迭代法收敛.26解线性方程组的迭代法讨论用三种迭代法求解的收敛性。解:例