线性代数第五章 线性变换ppt课件.ppt

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1、第五章线性变换第一节线性变换的基本概念一、集合之间的映射定义1设M和N是两个非空集合．如果对于M中任意一个元素x，按照某个对应法则f，总存在N中一个确定的元素y与之对应，则称这个对应法则f为从集合M到N的一个映射．通常用英文小写字母表示映射．特别地，我们也将一个非空集合M到自身的映射称为上的一个变换．如果映射f将M中的元素x对应到集合N中的元素y，则记或此时，称y为x在映射f下的像，f下的原像．如果f是从集合M到N的映射，像的全体所构成的集合，而称x为y在映射则将在f下的称为映射f的像集，记为f(M)，即定义2设f是从集合M到N的映射．如果f(M)=N，那么

2、称f是从M到N的满映射，或简称为满射．定义2’设f是从集合M到N的映射．如果对于N中的每一个元素y，都存在M中元素x，则称f是一个满射．使得y=f(x)，定义3设f是从集合M到N的映射．如果M中不同元素在f下的像也不同，即只要，则称f是从集合M到N的单映射，或简称为单射．就有定义4设f是从集合M到N的映射．如果f既是满射也是单射，即f满足1）f(M)=N；2）对于任意的，只要就有则称f是一个一一对应，例1设M是一个非空集合，定义M到M的对应f，满足则f是M到自身的一个映射，我们称其为集合M的单位映射，记为．或恒等映射，或者双射．满足应f，则f是到自身的映射，

3、且f是一个单射但不是满射．例3设是实数域上的所有n阶方阵的集合．例2设是全体整数的集合，定义到的对定义到的对应f，满足则f是到的一个映射，且f是一个满射但不是单射．例4设a是一个已知的正数，是所有正实数的集合．定义到的对应，满足则f不是一个映射．因为，对于任意的，定义5设f和g都是从集合M到N的映射，如果对于任意的，都有则称映射f与g相等，记为f=g．定义6设f是从集合M到N的一个映射，g是从集合N到P的一个映射，则对于M中的任意元素x，存在P中唯一确定的元素与之对应，这样得到一个M到P的映射，记为，映射称为f与g的乘积或复合映射，将这个即是集合M到P的映射

4、，满足显然，对于任意从集合M到N的映射f，都有定义7设f是从集合M到N的一个映射，如果存使得在N到M的一个映射g，则称f是一个可逆映射，并将映射g称为f的逆映射．定理1设f是从集合M到N的一个映射，则f是可逆映射当且仅当f是一个一一对应．另外，映射的乘积还满足结合律．二、线性变换的定义定义8设V是数域F上的一个线性空间．如果V上的一个变换，满足1）对于任意的，有2）对于任意的，，有则称为线性空间V上的一个线性变换，通常用希腊字母表示．例5显然，V上的单位映射是一个线性变换，将称其为单位变换，记为，或者恒等变换，即定义V上的一个变换0，使得显然，它是一个线性变

5、换，称其为零变换．设数，定义V上的一个变换，它即为单位变换；当　　时，为零变换．满足它也是一个线性变换，称其为数乘变换．当　　时，对于任意例6设是以数域F上的数作为系数的多项式的全体，按多项式的加法和数量乘法，构成F上的线性空间．定义的微商，满足于是是　　到自身的一个映射．容易验证，是上的一个线性变换．例7在平面解析几何中，将坐标系绕原点O逆时针旋转角，如果一个向量在直角坐标系下的坐标为,标和满足下面关系：将其旋转之后对应的向量记为，可以证明构成2维空间的一个线性变换．将向量在坐标系下的坐标记为，那么坐三、线性变换的基本性质及运算则有设是V上的一个线性变换．

6、性质1，．性质2如果是的线性组合，且组合系数是，即那么是的线性组合，组合系数也是，即性质3如果线性相关，也线性相关．那么也就是说线性变换将线性相关的向量组仍然变成线性相关的向量组．1.乘法设是V上的两个线性变换．定义和的乘积为直接验证，也是一个线性变换．线性变换的乘积也满足结合律，即但是，线性变换的乘积不满足交换律．均有对于任意的线性变换，2.加法设是V上的两个线性变换．定义和的和为也是V上的一个线性变换．均有对于任意的线性变换，我们也可以定义的负变换为显然，线性变换的加法满足：3.数量乘法设是V上的一个线性变换，．定义和k的数量乘积为直接验证，也是一个线性

7、变换．线性变换的数量乘法满足：例8设是一个n阶方阵．定义n维向量空间的一个变换，满足显然，是上的一个线性变换．特别，当A是一个可逆矩阵时，可逆的线性变换，是一个并且的逆变换为．如果V上的一个线性变换，的映射是可逆映射，作为V到V则称为可逆的，即存在V上的一个映射，使得．将　称为　的逆变换，记作．第二节线性变换的矩阵表示一、线性变换的矩阵表示定理2设V是数域F上的一个线性空间，向量是V的一组基．如果是V中任意的n个向量，那么存在V上唯一的线性变换，使得定义9设V是数域F上的一个线性空间，向量是V的一组基，是V上的一个线性变换．如果基向量在下的像被基的线性表出关

8、系为记那么（7）式可以写成矩阵形式（7）其中（8）称