第四节 留数与留数定理ppt课件.ppt

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1、第四节留数与留数定理一.孤立奇点及其类型二.留数与留数定理一、孤立奇点及其类型定义1设在不解析，而在的去心邻域内解析，则称为的孤立奇点．例如，是的孤立奇点．是的奇点，而非孤立奇点，因为都是它的奇点．当n无限增大时，在不论怎样小的去心邻域内总有的奇点存在．设为的孤立奇点，那么的某去心邻域内展为洛朗级数，其中正幂次项部分是在以为中心圆域内解析函数(称为解析部分)，所以点的奇异性完全体现在负幂次项的级数部分(称为主要部分)．下面就洛朗级数负幂次项部分的情况对孤立奇点进行分类．定义2设为的孤立奇点，且在的去心邻域内洛朗级数展开式有如下三种情况：（1）若没有负幂

2、次项，则称为的可去奇点；（2）若关于的最高次幂项为，即则称为的m级极点；（3）若有无穷个的负幂次项，则称为的本性奇点．例１已知，展式中没有负幂次项，故为的可去奇点．例２已知，展式中的最高次幂项为，故为的二级极点．例３已知，展式中有无穷多负幂次项，故为的本性奇点．关于孤立奇点类型的判别，我们有如下结论：定理1设在内解析，则(1)为的可去奇点的充要条件是存在极限，其中为一复常数；(2)为的极点的充要条件是；(3)为的本性奇点的充要条件是不存在且不为无穷．证明：略。现在研究极点的特征．设在内解析，且是的级极点，则在内，有洛朗展式其中．于是在内，(13.6)其

3、中在内是解析的函数，且．反之，如果在内可表示成(13.6)，而在内解析且，那么不难推出是的m级极点，结论：是的m级极点的充要条件是其中在解析且．于是有：例４判断函数孤立奇点的类型．解：和为的孤立奇点．因为其中在解析且，故是的三级极点．类似地，分别是的一级极点．定义3设，其中在解析且，则称是的m级零点．例如，则和分别是的一级与三级零点．由定义3可得结论：设在解析，则为的m级零点的充要条件是．(13.7)事实上，若为的m级零点，则可写为，设在的泰勒展开式为，其中，从而在的泰勒展开式为由此可见，当时，，．这就证明了上述结论的必要性，充分性请读者自己证明．例５

4、问为的几级零点？解：因为，，，故是的三级零点．零点与极点有如下关系：定理2若是的m级零点，则是的m级极点，反之也成立．证明：若是的m级零点，则有，其中在解析且．由此，当时，其中在解析且，所以是的m级极点．反之，如果是的m级极点，则有这里在解析且，于是有，其中也在解析且，由定义3可知是的m级零点．定理2为判断函数的极点及其类型提供了一个较为简便的方法．例６函数有哪些奇点？如果是极点，指出它们为几级极点．解：凡是使的点都是的奇点，这些奇点是，且均为孤立奇点。又由于，所以都是的一级零点，也就是的一级极点．二、留数与留数定理定义4设是的孤立奇点，在去心邻域内的

5、洛朗级数中负一次幂项的系数称为在的留数，记作，即．　(13.8)设,是的孤立奇点，曲线C是函数解析域内围绕的任一正向简单闭曲线，等式两边逐项积分得于是有(13.9)关于留数，我们有下面的重要定理：定理3(留数定理)设曲线C是一条正向简单闭曲线，在C内有有限个孤立奇点，除此以外，在C内及C上解析，则(13.10)证：如图13.3，在曲线C内用互不包含且互不相交的正向简单闭曲线将各孤立奇点围绕起来，图13-3由复合闭路定理,进而故利用这个定理，求沿封闭曲线C的积分，就可转化为求被积函数在C内各孤立奇点的留数．例７求，C为正向圆周．解：在C内被积函数有两个孤

6、立奇点和,下面分别求.在内故在内故由留数定理得原式求函数在其孤立奇点处的留数，如果先知道奇点为何种类型，一般来说会更方便，因为（1）若为的可去奇点，则（2）若为的本性奇点，则将在解析域内展为洛朗级数，其中负一次幂项系数即为所求留数；（3）若为的极点，则可用下列计算规则求留数．规则１若为的一级极点，则．证：由于为的一级极点，故有，上式两边同乘以，得两端取极限，得．规则２若为的m级极点，则证：由于为的m级极点，所以上式两边同乘以，得两边对z求m-1阶导数，得令，两端取极限得结论成立．规则３设，及在都解析，若则是的一级极点，且．证：因为的一级极点，由规则１，

7、已知在解析，且，于是例8求，C为正向圆周．解：在C内有一个一级极点和一个二级极点．由规则１，．由规则２，由留数定理，原式例９计算积分，C为正向圆周．解：在C内有四个一级极点．由规则３，．同理可求，，由留数定理，原式例10计算积分，C为正向圆周．解：在C内有两个孤立奇点和．因为，所以是的可去奇点，从而另外由规则１，由留数定理，原式例11计算定积分，其中．解：令，则，，代入原式得.记，令得,.其中在圆内，且为的一级极点．由规则３得，根据留数定理，得．习题13-41、下列函数有哪些奇点？如果是极点，指出它们是几级极点．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；

8、(6).2、设函数与分别以为m级与n级极点(或零点),那么下列函数在各有什么性质?(1)；(2