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1、第3章线性方程组的解3.1问题的提出3.2简单迭代3.3紧凑迭代3.4松弛迭代3.5高斯消去法目录3.1问题的提出在化工设计和计算中常常要用到线性方程组，尽管线性方程组不是解决问题的关键，但不通过线性方程组的求解，整个化工设计和计算问题就无法得到解决。下面我们来看一个有关精馏塔计算中碰到的线行方程组求解问题。在精馏塔计算中，根据物料平衡、能量平衡、相平衡等建立了MESH方程后，首先要解决的是根据ME方程，计算出各塔板上的各组分的浓度。根据建立的ME方程，经过处理，我们可以得到以下线性方程组：Bi,1xi,1+Ci,
2、1xi,2=D1Ai,2xi,1+Bi,2xi,2+C2xi,3=D2Ai,3xi,2+Bi,3xi3+Ci,3xi,4=D3Ai,jxi,j-1+Bi,jxij+Ci,jxi,j+1=DjAi,N-1xi,N-2+Bi,N-1xi,N-1+Ci,N-1xi,N=DN-1AiNxi,N-1+Bi,NxiN=DN3.13.23.33.43.53.1问题的提出用迭代法求解线性方程组AX=t时,首先对方程组AX=t进行等价变换，构造同解方程组X=MX+y，以此构造迭代关系式：任取初始向量，代入迭代式中，经计算得到迭代序列
3、X(1),X(2),……。若迭代序列{X(k+1)}收敛，设{X(k)}的极限为X*,对迭代两边取极限即X*=MX*+y，X*是方程组AX=t的解，此时称迭代法收敛，否则称迭代法发散。线性方程组迭代收敛的充分必要条件是迭代谱半经：其中X是矩阵M的特征根。事实上，若X为方程组AX=t的解，则由迭代式X(k+1)=MX(k)+t，可得到：由线性代数定理，的充分必要条件为（M）<1。3.13.23.33.43.53.1问题的提出通过计算矩阵的范数等方法判断收敛工作的方法。首先设若
4、
5、M
6、
7、P为矩阵M的范数，其中：只要迭代
8、矩阵M满足或，就可以判断迭代序列是收敛的。但这个条件是充分条件，也就是说，当或,不能判断迭代序发散。在计算中当相邻两次的误差向量的某种范数
9、
10、X(k+1)–X(k)
11、
12、P小于给定的精度时，在计算机计算中通常利用前后两次计算中各分量的绝对偏差或其相对值小于计算精度，就停止迭代计算，视X(k+1)为方程组AX=t的近似解。3.13.23.33.43.53.2简单迭代3.2.1简单迭代公式设有N元线性方程组:写成矩阵形式为AX=t。若aii0,i=1,2,…..n,将（3-1）中的每个方程的aiixi留在方程的左边，其余
13、各项都移到方程的右边；方程两边除以aii,则得到下面同解方程组：3.13.23.33.43.53.2简单迭代3.2.1简单迭代公式记，构造迭代公式：当迭代矩阵B的谱半径时，迭代收敛，这是收敛的充分必要条件。迭代矩阵的某范数时，迭代收敛。要注意的是范数小于1只是判断迭代矩阵收敛的充分条件.3.13.23.33.43.53.2简单迭代3.2.1简单迭代公式当方程组的系数矩阵具有某些性质时，可直接判定由它生成的简单迭代矩阵是收敛的。其条件如下：（1）为行对角优阵，即，。（2）为列对角优阵，即,。以上两个条件只要满足一个，
14、简单迭代过程就收敛。3.13.23.33.43.53.2简单迭代3.2.2简单迭代计算机算法为了简单起见，在算法中假定矩阵满足简单迭代要求，即，，设系数矩阵A满足迭代收敛条件1、进行变量定义工作，一般需要系数矩阵变量a、迭代计算变量x1、初值变量x0、方程数n、收敛精度及其它一些可能要用到的中间变量，注意这一工作一定要细心，否则在进行VB计算的时候程序常常会出一些莫名其妙的错误，希望读者引起注意。2、利用循环语句和Inputbox()语句输入方程数、系数矩阵与常数项向量的元素及收敛精度要求。精度要求也可直接在程序中
15、体现而不进行输入。3、根据公式（3-2）计算bij和yi，并置4、利用DO…LoopUntil语句进行迭代循环计算及偏差计算，当偏差符合要求时，停止计算，若偏差不符合要求则将向量X0和X1互换，继续进行迭代循环计算。5、输出方程组的解，3.13.23.33.43.53.2简单迭代3.2.2简单迭代计算机算法例3.1：用简单迭代格式解下列方程组：解：方程的迭代格式：或，简单迭代收敛。3.13.23.33.43.53.2简单迭代3.2.2简单迭代计算机算法取初始值，计算结果由表3.1所示。表3.1方程组的准确解是{-1
16、，2，1}012345671-1.5-1.25-0.915-0.9575-1.01445-1.00722-0.99754311.62.082.0681.98641.988442.002312.0019710.91.091.0170.98470.997111.00261.000490.60.480.3550.04250.056950.007230.0013.1
