2004数学建模试题及答桉.doc

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1、数学建模试题及答案1．设某产品的供给函数与需求函数皆为线性函数：其中为商品单价，试推导满足什么条件使市场稳定。解：设Pn表示t=n时的市场价格，由供求平衡可知：2分即：经递推有：6分表示初始时的市场价格若。10分2．某植物园的植物基因型为AA、Aa、aa，人们计划用AA型植物与每种基因型植物相结合的方案培育后代（遗传方式为常染色体遗传），经过若干代后，这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形？总体趋势如何？依题意设未杂交时aa、Aa、AA的分布分别为，杂交n代后分别为anbncn(向为白分手)由遗传学原理有：4分设向量式中递推可得：对M矩阵进行相似对角化后可得：其相似对角阵从而8

2、分当时，。10分1．试建立人口Logistic(逻辑)模型，并说明模型中何参数为自然增长率，为什么？解：人口净增长率与人口极限以及目前人口均相关。人口量的极限为M，当前人口数量为N（t），r 为比例系数。建立模型：4分求解得到6分注意到当时，并说明r即为自然增长率。10分1．1968年，介壳虫偶然从澳大利亚传入美国，威胁着美国的柠檬生产。随后，美国又从澳大利亚引入了介壳虫的天然捕食者——澳洲瓢虫。后来，DDT被普通使用来消灭害虫，柠檬园主想利用DDT进一步杀死介壳虫。谁料，DDT同样杀死澳洲瓢虫。结果，介壳虫增加起来，澳洲瓢虫反倒减少了。试建立数学模型解释这个现象。解：依据题意，设

3、介壳虫的数量为x(t)，澳洲瓢虫的数量为y(t),则有数模方程组：（1）式中abcf均大于零。4分解方程组（1）得：（3）式（3）给出一族封闭曲线，显然x(t)、y(t)即为以下为周期（T>0）的周期函数，由于调查的虫子的数量为一个周期内的均值则有6分当使用杀虫剂DDT后，设杀死介壳虫，，澳洲瓢虫则有模型为：显然此时有：即介壳虫的数量增加，澳洲瓢虫的数量反而减小。10分1．根据水情资料，某地汛期出现平水水情的概率为0.9,出现高水水情的概率为0.05，出现洪水水情的概率为0.05。位于江边的某工地对其大型施工设备拟定三个处置方案：（1）运走，需支付运费15万元。（2）修堤坝保护，需

4、支付修坝费5万元。（3）不作任何防范，不需任何支出。若采用方案（1），那么无论出现任何水情都不会遭受损失；若采用方案（2），则仅当发生洪水时，因堤坝冲垮而损失400万元的设备；若采用方案（3），那么当出现平水水位时不遭受损失，发生高水水位时损失部分设备而损失200万元，发生洪水时损失设备400万元。根据上述条件，选择最佳决策方案。解：我们利用数学期望来评判方案的优劣：运走-15不发生洪水0.95-5A-15修坝B发生洪水0.05-405平水0.90C高水0.05-200洪水0.05-400E(A)=-15（2分）E(B)=0.95×(-5)+0.05×（-405）=-25（5分）E

5、(C)=0×0.75+(-200)×0.05+0.05×(-400)=-30（8分）所以-E(A)<-E(B)<-E(C)，因而A方案是最佳决策方案。（10分）2．某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10,15,25,20台同一规格的柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如下表所示，如果生产出的柴油机当季不交货，每台积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元，建立一个数学模型（不要求求解），要求在完成合同的情况下，使该厂全年生产（包括储存、维护）费用最小。季度生产能力（台）三位成本（万元/台）一2510.8二3511.1三3011.0四1011.3解：设为第季度

6、生产的用于第季度交货的柴油机的台数，则由题意：（3分）又由生产能力的要求，有（6分）再设表示第季度生产的用于第季度交货的每台柴油机的实际成本，其值如下表：1234110.810.9511.1011.25211.1011.2511.4031111.15411.30设表示第j季度的生产能力，表示第季度的合同供应量，则建立本问题模型：（10分）1．考虑某地区影响青年生长发育主要因素分析。已知13岁至18岁各年龄组的四项指标为——生长发育不良的比率；——五项身体素质不及格的比率；——营养不良比率；——患病比率，数据见下表：年龄13141516171840.3946.0847.0647.26

7、48.9849.0632.2934.3133.3335.4037.6842.1637.2537.2525.5012.759.816.676.368.239.367.35.26.5请利用关联分析法分析影响发育的三项指标哪个对生长发育不良影响大？分辨系数.解：（1）进行初始化处理（2分）同理得到及，（5分）（2）利用公式计算各个关联系数：（8分）（3）计算关联度利用公式得到，，从而即五项身体素质不及格的比率对生长发育不良的比率影响最大。（10分）2004《数学建模》课程成